O teste t de Student ou somente teste t é um teste de hipótese que usa conceitos estatísticos para rejeitar ou não uma hipótese nula quando a estatística de teste () segue uma distribuição t de Student.

Essa premissa é normalmente usada quando a estatística de teste, na verdade, segue uma distribuição normal, mas a variância da população 2 é desconhecida. Nesse caso, é usada a variância amostral 2 e, com esse ajuste, a estatística de teste passa a seguir uma distribuição t de Student.

História A estatística t foi introduzida em 1908 por William Sealy Gosset, químico da cervejaria Guinness em Dublin, Irlanda ("student" era seu pseudônimo).Richard Mankiewicz, The Story of Mathematics (Princeton University Press), p.158. Gosset havia sido contratado devido à política inovadora de Claude Guinness de recrutar os melhores graduados de Oxford e Cambridge para os cargos de bioquímico e estatístico da indústria Guinness. Gosset desenvolveu o Teste t como um modo barato de monitorar a qualidade da cerveja tipo stout. Ele publicou o Teste t na revista acadêmica Biometrika em 1908, mas foi forçado a usar seu pseudônimo pelo seu empregador, que acreditava que o fato de usar estatística era um segredo industrial. De fato, a identidade de Gosset não foi reconhecida por seus colegas estatísticos.

Conceito miniaturadaimagem|300x300px|Função Densidade de Probabilidade para t de Student, indicando o p-valor unicaudal para determinado t thumb|300px|Função Densidade de Probabilidade para t de Student, indicando o nível de confiança e o p-valor bicaudal para determinado t

Se forem feitas inúmeras amostras de tamanho a partir da mesma população e se fossem tiradas as médias de uma variável dessa população que possui uma distribuição normal, a distribuição dessas inúmeras médias seguiria uma distribuição t de Student. Por exemplo, imaginemos que a altura das pessoas segue uma distribuição normal. Se selecionarmos diversas amostras aleatórias de 100 pessoas e calculássemos a média da altura das pessoas de cada amostra, essa média da altura das pessoas seguirá uma distribuição t de Student.

Perceba que, na distribuição t de Student, valores muito baixos ou muito altos tem menor probabilidade de ocorrer, indicando que é menos provável que a média de uma amostra apresente valores muito distantes da média da população.

O formato da distribuição t de Student depende do número de graus de liberdade. Quanto maior o número de graus de liberdade, mais "concentrada" é a distribuição. Para valores muito grandes de graus de liberdade, a distribuição t de Student se aproxima da distribuição normal.

O Teste t consiste em formular uma hipótese nula e consequentemente uma hipótese alternativa, calcular o valor de conforme a fórmula apropriada (abaixo) e aplicá-lo à função densidade de probabilidade da distribuição t de Student medindo o tamanho da área abaixo dessa função para valores maiores ou iguais a . Essa área representa a probabilidade da média dessa(s) amostra(s) em questão ter(em) apresentado o(s) valor(es) observado(s) ou algo mais extremo. Se a probabilidade desse resultado ter ocorrido for muito pequena, podemos concluir que o resultado observado é estatisticamente relevante. Essa probabilidade também é chamada de p-valor ou valor p. Consequentemente, o nível de confiança é igual a 1 - p-valor.

Normalmente é usado um "ponto de corte" para o p-valor ou para o nível de confiança para definir se a hipótese nula deve ser rejeitada ou não. Se o p-valor for menor que esse "ponto de corte", a hipótese nula é rejeitada. Caso contrário, a hipótese nula não é rejeitada.

É comum que sejam usados os "pontos de corte" para p-valor 0,1%, 0,5%, 1%, 2% ou 5%, fazendo com que os níveis de confiança sejam, respectivamente, 99,9%, 99,5%, 99%, 98% ou 95%. Caso seja usado o p-valor 5% como "ponto de corte" e a área abaixo da função densidade de probabilidade da distribuição t de Student seja menor do que 5%, pode-se afirmar que a hipótese nula é rejeitada com nível de confiança de 95%.

Note que não rejeitar a hipótese nula não é a mesma coisa que afirmar que a hipótese alternativa é válida com o mesmo nível de confiança. Isso seria uma interpretação incorreta do teste.

Unicaudal vs. Bicaudal Dependendo da definição da hipótese nula, deve ser usado uma ou duas caudas da distribuição t de Student na avaliação do teste. Por exemplo, se a hipótese nula for e a hipótese alternativa , o teste deve ser feito somente para valores maiores do que e, portanto, ao consultar a função densidade de probabilidade da distribuição t de Student, deve-se considerar somente a área superior a , ou seja, somente uma das "caudas" da distribuição.

Por outro lado, se a hipótese nula for e, consequentemente, a hipótese alternativa , teríamos que avaliar ao mesmo tempo a possibilidade de e de . Para isso, ao consultar a função densidade de probabilidade da distribuição t de Student, devem ser consideradas as áreas abaixo da curva para valores superiores a e inferiores a , ou seja, as duas "caudas" da distribuição. Como a distribuição é simétrica, os tamanhos dessas áreas são iguais.

Teste t para média de uma amostra O teste t para média de uma amostra consiste em medir a probabilidade da média da amostra em questão ter apresentado o valor observado ou algo mais extremo, dada a média da população .

Para fazer isso, estipulamos, por exemplo, que a hipótese nula é e que, por consequência, a hipótese alternativa é . Usamos a seguinte fórmula para o cálculo da estatística t:

Em que: : Média da amostra; : Valor fixo usado para comparação com a média da amostra; : Desvio padrão amostral; : Tamanho da amostra.

Quanto maior , mais confiança temos ao rejeitar a hipótese nula, ou seja, mais certeza temos ao afirmar que não é verdadeiro.

Note que, na fórmula acima, quanto maior , maior será . Ou seja, quanto maior a distância dos valores observados ao valor que estamos comparando, mais certeza teremos em afirmar que eles são diferentes. Do mesmo modo, aumenta quando o tamanho da amostra é maior ou quando o desvio padrão é menor. Teoricamente, o desvio padrão a ser usado deveria ser o da população (normalmente identificado com o símbolo ), mas em muitos casos práticos esse valor é desconhecido, sendo necessário aproximá-lo pelo desvio padrão amostral :

Exemplo prático Determinado carro consegue percorrer 15 km a cada litro de combustível gasto em uma estrada plana e de boas condições, mas essa distância pode variar devido a diversos fatores. Digamos que a distância percorrida por litro de combustível tenha uma distribuição normal com média 15 km e desvio padrão de 2 km.

Suponhamos que seja feita uma modificação no motor desse carro com o objetivo de aumentar a distância percorrida por litro de combustível. Depois da modificação, foram realizados 10 testes. Nesses testes, a média das distâncias percorridas por litro de combustível foi de 16,6 km.

A princípio, como 16,6 km é uma distância superior a 15 km, parece que a modificação no motor aumentou a distância percorrida por litro de combustível. Mas, para comprovar esse efeito de forma estatística, definimos a hipótese nula e calculamos o valor de .

Neste caso, temos:

Assim,

Conforme a função de densidade de probabilidade da distribuição t de Student com 9 (10-1) graus de liberdade, existe 1,61% de probabilidade de valores superiores a 2,53 terem sido obtidos caso a distância percorrida por litro de combustível não ter sido alterada. Se estivermos usando nível de confiança de 95%, rejeitaríamos a hipótese nula . Isso pode ser explicado de duas formas: A probabilidade obtida com o t calculado (1,61%) é inferior ao "ponto de corte" do p-valor (5%), ou O valor t do "ponto de corte" escolhido (95% de confiança, que corresponde ao t de 1,833), é inferior ao t calculado (2,53).

Na primeira explicação, é necessário calcular a área abaixo da função densidade de probabilidade da distribuição t de Student com 9 graus de liberdade para valores superiores a 2,53 usando algum software estatístico ou planilha de cálculo. Na segunda explicação, além dos softwares estatísticos ou planilhas de cálculo, também poderia-se chegar no valor 1,833 usando uma tabela de valores para distribuição t de Student, que normalmente constam em livros de estatística.

Perceba que, se usássemos nível de confiança de 99%, ao invés de 95%, não rejeitaríamos a hipótese nula porque: A probabilidade obtida com o t calculado (1,61%) é superior ao "ponto de corte" do p-valor (1%), ou O valor t do "ponto de corte" escolhido (99% de confiança, que corresponde ao t de 2,821), é superior ao t calculado (2,53).

Teste t para médias de duas amostras Tamanhos iguais, variâncias iguais Este teste só deve ser usado quando: o tamanho das amostras (n) dos dois grupos são iguais; Podemos assumir que as duas distribuições possuem a mesma variância. A estatística t é calculada conforme a fórmula:

,onde

A quantidade de graus de liberdade a ser usado nesse teste é .

Tamanhos diferentes, variâncias iguais Este teste só deve ser usado quando podemos assumir que as duas distribuições possuem a mesma variância.

A estatística t é calculada conforme a fórmula:

,onde

A quantidade de graus de liberdade a ser usado nesse teste é .

Tamanhos diferentes, variâncias diferentes Este teste é usado quando as amostras possuem variâncias diferentes. Para confirmar se as variâncias são realmente diferentes, é recomendável realizar um teste de variâncias.

A estatística t é calculada conforme a fórmula:

,onde

A quantidade de graus de liberdade a ser usado nesse teste é:

Essa equação é chamada de Equação Welch–Satterthwaite.

Teste t para coeficiente de regressões

O Teste t também pode ser usado para testar a significância de coeficientes de regressões. Em geral esse teste é usado para confirmar se a variável que está sendo usada na regressão está realmente contribuindo para a estimativa.

Ver também Distribuição t de Student Testes de hipóteses Estatística de teste Valor p

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