Definição Na matemática, uma ação de um grupo num conjunto é uma operação compatível com as operações do grupo , nos seguintes aspectos: sendo a identidade de , vale para cada ; vale para quaisquer e .

O conceito de ação de grupo assemelha-se ao de espaço vetorial, ainda mais quando se usa a abreviação para ..

As mais básicas ações de grupos podem ser tratadas geometricamente, como simetrias. Por exemplo, o -ésimo grupo diedral age no conjunto de vértices, mudando-os de posições por meios de reflexões e rotações; neste caso, a ação é fiel. O mesmo grupo diedral também tem outra ação dada por , isto é, sem mover os vértices, e neste caso a ação não é fiel.

As muitas propriedades de ações de grupos aplicam-se em áreas como a teoria dos corpos, teoria dos grafos e até a física quântica.

Tipos de ações

Uma ação de grupo pode ser equivalentemente tratada como um homomorfismo , levando elementos de a bijeções, dado por , de modo que se possam aproveitar resultados sobre homomorfismos de grupos no estudo de suas ações.

A ação é dita ser fiel quando é função injetiva, isto é, quando o único elemento tal que é a identidade. A ação é dita ser transitiva quando qualquer elemento de pode ser levado a qualquer outro, isto é, quando, para quaisquer , existe tal que . A ação é dita ser livre quando, se para algum , deve ser que é a identidade. (Quando é não vazio, isto é uma condição mais forte do que ser fiel.)

Exemplos

Todo grupo age sobre si mesmo, por , e ação é fiel, transitive e livre. (Esta afirmação básica, de que todo grupo admite ação fiel, é conhecida por teorema de Cayley.) Todo grupo age trivialmente em qualquer conjunto, por , e ação é (quando é não vazio), não fiel nem livre, e quando tem pelo menos dois elementos, também não é transitiva. A operação não é uma ação de grupo (à esquerda), mas é uma ação de grupo à direita: uma operação (neste caso ) satisfazendo propriedades análogas. Todo grupo age em qualquer subgrupo normal seu por conjugação: . Sendo subgrupo , não necessariamente normal, há ação canônica de no conjunto de classes laterais , dada por: .

Órbitas e estabilizadores

Seja ação . A órbita de um elemento é o subconjunto . O estabilizador de é o subgrupo .

O teorema da órbita e do estabilizador diz que há isomorfismo canônico entre ações. Em particular, no caso finito, pelo teorema de Lagrange, tem-se a fórmula , onde as barras verticais denotam cardinalidade.

Eis uma aplicação desse teorema básico:

Dado primo, seja um -grupo não trivial, isto é, um grupo com precisamente elementos, onde é um inteiro positivo. Prova-se que o seu centro , o conjunto dos elementos de comutando-se com qualquer outro elemento, é não trivial. Para tal, considera-se a ação de conjugação de em . O conjunto pode ser particionado em suas órbitas; as órbitas triviais (de um só elemento cada) constituem-se precisamente dos elementos do centro; sejam os tamanhos das outras órbitas, não triviais. Então, . Cada é divisor de , que é uma potência do primo , logo também é potência do mesmo primo, e sendo diferente de um, há de ser múltiplo de . Desse como, como é múltiplo de , a parcela restante também é múltiplo de ; como a identidade é elemento central, há pelo menos outros elementos centrais.

Outras aplicações desse teorema ocorrem nas provas dos teoremas de Sylow.

Variantes

Há o conceito similar de ação de semigrupo, cuja teoria, porém, se complica pela ausência da operação de inversão.

Representação de grupo é um conceito mais estrito, usado quando se deseja escrever uma ação de grupo em termos de multiplicação de matrizes.

O conjunto pode ter mais estrutura, e pode-se exigir que a ação de grupo seja compatível com essa estrutura; isso leva, por exemplo, ao estudo de ação de grupo contínua.

Todas essas variantes são casos particulares do conceito de functor.

Bibliografia

. . Tradução em espanhol por Antonio Behn.

Categoria:Teoria dos grupos Categoria:Ações de grupos