miniatura|500px|A curva em vermelho é uma epicicloide quando o círculo menor (raio rola em volta do exterior do círculo maior (raio . A epicicloide é uma curva cíclica definida por um ponto de uma circunferência que rola sem deslizar sobre um círculo diretorCarvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982, cap. 13, p. 286. A epicicloide é um caso especial da epitrocoide. Uma epicicloide com um único ponto tangendo a circunferência é uma cardioide.

História O matemático grego Hiparco (190 aC - 120 aC) foi o primeiro a desenvolver as ideias de epicicloide em sua teoria astronômica dos epiciclos, onde desenvolveu um modelo para o movimento lunar. Em seguida, Ptolemeu, famoso astrônomo e geógrafo grego, usou combinações de epicicloides para estimar as posições do Sol, da Lua e dos planetas. Essa ideia só foi substituída pela teoria de Nicolau Copérnico (1473 - 1543) de que o Sol, e não a Terra, era o centro do universo.

A construção em si da epicicloide foi primeiramente descrita em 1525 por Albrecht Dürer (1471 - 1528), um artista alemão. Dürer publicou essa e muitas outras curvas em seu primeiro artigo matemático. Gerard Desargues (1591 - 1661), engenheiro francês, foi o primeiro a fazer uso da epicicloide nos sistemas de abastecimento de água na região de Paris. Outro uso prático da epicicloide é o da engrenagem mecânica, ainda que se debata de quem foi a ideia. Olaus Roemer (1644 - 1710), astrônomo dinamarquês, é tido como o autor da investigação do uso da epicicloide nos dentes das engrenagens apesar de haver uma discussão envolvendo o matemático francês Philippe de La Hire (1640 - 1719) cujo pai foi aluno de Desargues, que supostamente teria feito o mesmo vinte anos antes.

Demonstração miniatura|upright=2.0|Esboço para a prova Assumimos que a posição do ponto é o que queremos solucionar, é o ângulo em radiano a partir do ponto tangenciado até o ponto móvel , e é o ângulo em radiano a partir do ponto inicial até o ponto tangenciado.

Como não há deslizamento entre os dois círculos,

A partir da definição de radiano (tamanho do arco sobre o raio), temos que

A partir dessas duas condições, temos

Assim,

Observando a figura, vemos facilmente a posição do ponto .

Involuta

A involuta de uma epicicloide parametrizada da forma

é outra epicicloide dada por

representada pela cor azul na figura ao lado, com R = 3 e r = 1.

Evoluta

A evoluta de uma epicicloide parametrizada da forma

é outra epicicloide dada por

representada pela cor verde na figura ao lado, com R = 5 e r = 1.

Epicicloide encurtada Se o ponto da curva estiver dentro da circunferência, a curva descrita será uma epicicloide encurtada Movimentos com vínculos, página visitada em 20 de julho de 2011..

Epicicloide alongada Se o ponto da curva estiver fora da circunferência, a curva descrita será uma epicicloide alongada.

Galeria de epicicloides

Ver também Lista de construções do desenho geométrico

Ligações externas Animação da cicloide, epicicloide, hipocicloide Curvas Cíclicas The Epicycloid by Dennis Astley e Emily Astley .

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