O teste do sinal é um método estatístico para testar diferenças consistentes entre pares de observações, tal como o peso dos sujeitos antes e depois do tratamento. Dados os pares de observações (tal como peso pré e pós-tratamento) para cada sujeito, o teste do sinal determina se um membro do par (tal como o peso pré-tratamento) tende a ser maior do que (ou menor do que) o outro membro do par (tal como o peso pós-tratamento).

As observações pareadas podem ser designadas como e . Para comparações de observações pareadas , o teste do sinal é mais útil se as comparações puderem ser expressas apenas como , ou . Se, em vez disto, as observações puderem ser expressas como quantidades numéricas (, ) ou como postos (posto de º, posto de º), então, o teste t de Student pareado ou teste de postos sinalizados de Wilcoxon geralmente serão mais adequados do que o teste do sinal para detectar diferenças consistentes.

Se e forem variáveis quantitativas, o teste do sinal pode ser usado para testar a hipótese de que a diferença entre e tem mediana zero, pressupondo distribuições contínuas das duas variáveis aleatórias e , na situação em que podemos obter amostras pareadas a partir de e .

O teste do sinal também pode testar se a mediana de uma coleção de números é significantemente maior ou menor que um valor especificado. Por exemplo, dada uma ista de notas de alunos em uma sala, o teste do sinal pode determinar se a mediada das notas é significantemente diferentes de, por exemplo, 75 de 100.

O teste do sinal é um teste não paramétrico que faz poucas pressuposições sobre a natureza das distribuições sob o teste – isto significa que ele tem uma aplicabilidade muito generalizada, mas pode não ter a potência estatística de testes alternativos.

As duas condições para o teste do sinal de amostra pareada são que a amostra deve ser aleatoriamente selecionada a partir de cada população e que as amostras devem ser dependentes ou pareadas. Amostras independentes não podem ser significantemente pareadas. Já que o teste é não paramétrico, as amostras não precisam vir de populações normalmente distribuídas. Além disto, o teste funciona para testes com cauda à esquerda, cauda à direita e bicaudais.

Método Considere e então teste a hipótese nula . Em outras palavras, a hipótese nula afirma que, dado um par aleatório de medidas (), é igualmente provável que e sejam uma maior que a outra.

Para testar a hipótese nula, os pares independentes de dados amostrais são coletados a partir das populações . Pares para os quais não há nenhuma diferença são omitidos de modo que haja a possibilidade de uma amostra reduzida de pares .

Então, considere . o número de pares para os quais . Pressupondo que é verdadeira, então, segue uma distribuição binomial .

Pressupostos Considere para . Pressupõe-se que as diferenças são independentes. Cada vem da mesma população contínua. Os valores que e representam são ordenados (pelo menos na escala ordinal), de modo que as comparações "maior que", "menor que" e "igual a" tenham sentido.

Teste de significância Já que se espera que a estatística do teste siga uma distribuição binomial, o teste binomial padrão é usado para calcular a significância. A aproximação normal à distribuição binomial pode ser usada para amostras grandes com .

O valor da cauda à esquerda é computado por , que é o valor-p para a alternativa . Esta alternativa significa que as medidas de tendem a ser maiores.

O valor da cauda à direita é computado por , que é o valor-p para a alternativa . Esta alternativa significa que as medidas de tendem a ser maiores.

Para uma alternativa bicaudal , o valor-p é o dobro do menor valor de cauda.

Exemplo de teste do sinal bilateral para pares emparelhados Jerold H. Zar dá o seguindo exemplo de teste de sinal para pares emparelhados. Os dados coletados dizem respeito ao comprimento da pata esquerda traseira e da pata esquerda dianteira de 10 cervos.

Cervo Comprimento da pata traseira (cm) Comprimento da pata dianteira (cm) Diferença 1 142 138 + 2 140 136 + 3 144 147 − 4 144 139 + 5 142 143 − 6 146 141 + 7 149 143 + 8 150 145 + 9 142 136 + 10 148 146 +

A hipótese nula é que não há diferença entre os comprimentos da pata traseira e da pata dianteira do cervo. A hipótese alternativa é que há uma diferença entre os comprimentos da pata traseira e da pata dianteira. Note que este é um teste bicaudal. Para o teste bicaudal. a hipótese alternativa é de que o comprimento da pata traseira pode ser maior ou menor do que pata dianteira. Um teste monocaudal poderia avaliar se o comprimento da pata traseira é maior do que o da pata dianteira, de modo que a diferença só pode ser em uma direção (maior que).

Há 10 cervos. Há 8 diferenças positivas e 2 diferenças negativas. Se a hipótese nula for verdadeira, ou seja, não houver diferença entre os comprimentos da pata traseira e da pata dianteira, então, o número esperado de diferenças positivas é 5 de 10. Qual é a probabilidade de que o resultado observado de 8 diferenças positivas ou um resultado mais extremo ocorra se não houver diferença nos comprimentos das patas?

Já que o teste é bilateral, um resultado igualmente ou mais extremo que 8 diferenças positivas inclui os resultados de 8, 9 ou 10 diferenças positivas e os resultados de 0, 1 ou 2 diferenças positivas. A probabilidade de 8 ou mais diferenças positivas entre 10 cervos ou 2 ou menos diferenças positivas entre 10 cervos é igual à probabilidade 8 ou mais caras ou 2 ou menos caras em dez jogos de cara ou coroa com uma moeda justa. As probabilidades podem ser calculadas usando o teste binomial, com a probabilidade de caras e de coroas iguais a 0,5.

Probabilidade de 0 cara em 10 jogos de cara ou coroa com uma moeda justa = 0,00098. Probabilidade de 1 caras em 10 jogos de cara ou coroa com uma moeda justa = 0,00977. Probabilidade de 2 caras em 10 jogos de cara ou coroa com uma moeda justa = 0,04395. Probabilidade de 8 caras em 10 jogos de cara ou coroa com uma moeda justa = 0,04395. Probabilidade de 9 caras em 10 jogos de cara ou coroa com uma moeda justa = 0,00977. Probabilidade de 10 caras em 10 jogos de cara ou coroa com uma moeda justa = 0,00098.

A probabilidade bilateral de um resultado tão extremo quanto 8 de 10 diferenças positivas é a soma destas probabilidades:Assim, a probabilidade de observar resultados tão extremos como 8 de 10 diferenças positivas nos comprimentos das patas, se não houver diferença nos comprimentos das patas, é . A hipótese nula não é rejeitada ao nível de significância de . Como uma amostra de tamanho maior, a evidência pode ser suficiente para rejeitar a hipótese nula.

Já que as observações podem ser expressas como quantidades numéricas (comprimento real da pata), o teste t pareado ou o teste de postos sinalizados de Wilcoxon terão geralmente maior potência do que o teste do sinal para detectar diferenças consistentes. Para este exemplo, o teste t pareado para diferenças indica que há uma diferença significante entre o comprimento da pata traseira e o comprimento da pata dianteira ().

Se o resultado observado fosse 9 diferenças positivas em 10 comparações, o teste do sinal pode ser significante. Apenas jogos de cara ou coroa com 0, 1, 9 ou 10 seriam igualmente ou mais extremos que o resultado observado. Probabilidade de 0 cara em 10 jogos de cara ou coroa com uma moeda justa = 0,00098. Probabilidade de 1 cara em 10 jogos de cara ou coroa com uma moeda justa = 0,00977. Probabilidade de 9 caras em 10 jogos de cara ou coroa com uma moeda justa = 0.00977. Probabilidade de 10 caras em 10 jogos de cara ou coroa com uma moeda justa = 0.00098. A probabilidade de um resultado tão extremo quanto 9 ou 10 diferenças positivas é igual à soma destas probabilidades:Em geral, 8 de 10 diferenças positivas não é significante (), mas 9 de 10 diferenças positivas é significante ().

Exemplo de teste do sinal unilateral para pares emparelhados W. J. Conover dá o seguinte exemplo usando um teste do sinal unilateral para pares emparelhados. Um fabricante faz dois produtos, A e B. O fabricante deseja saber se os consumidores preferem o produto B ao produto A. Em uma amostra de 10 consumidores, cada um recebe um produto A e um produto B e diz qual produto prefere.

A hipótese nula é que os consumidores não preferem o produto B ao produto A. A hipótese alternativa é que os consumidores preferem o produto B ao produto A. Note que este é um teste unilateral, ou seja, com uma única direção.

No fim do estudo, 8 consumidores preferiram o produto B, 1 consumidor preferiu o produto A e um consumidor disse não ter preferência.

Número de casos positivos (que preferiram B) = 8. Número de casos negativos (que preferiram A) = 1. Número de empates (nenhuma preferência) = 1.

O empate é excluído da análise, o que torna , o número de casos positivos e negativos, igual a 9,

Qual é a probabilidade de um resultado tão extremo quanto 8 positivos em favor de B em 9 pares, sendo que a hipótese nula diz que os consumidores não preferem B a A? Isto é igual à probabilidade 8 ou mais caras em 9 jogos de cara ou coroa com uma moeda justa e pode ser calculado usando a distribuição binomial com a probabilidade de caras e a probabilidade de coroas iguais a 0,5.

A probabilidade de 8 ou 9 caras em 9 jogos de cara ou coroa com uma moeda justa é igual a 0,0195. A hipótese nula é rejeitada e o operário conclui que os consumidores preferem o produto B ao produto A.

Exemplo de teste do sinal para mediana de uma única amostra P. Sprent dá o seguinte exemplo de um teste do sinal para uma mediana. Em um ensaio clínico, o tempo de sobrevivência (em semanas) é coletado para 10 sujeitos com linfoma não Hodgkin. O tempo de sobrevivência exato não é conhecido para um sujeito que ainda estava vivo 362 semanas depois, quando o estudo terminou. Os tempos de sobrevivência dos sujeitos foram:O sinal de mais indica o sujeito ainda vivo no fim do estudo. O pesquisador desejava determina se a mediana do tempo de sobrevivência era menor ou maior que 200 semanas.

A hipótese nula é que a mediana da sobrevivência é igual a 200 semanas. A hipótese alternativa é que a mediana da sobrevivência não é 200 semanas. Nota que este é um teste bilateral: a hipótese alternativa é que a mediana pode ser maior ou menor que 200 semanas.

Se a hipótese nula for verdadeira, ou seja, a mediana da sobrevivência for igual a 200 semanas, então, em uma amostra aleatória, aproximadamente metade dos sujeitos deve sobreviver menos de 200 semanas e aproximadamente metade deve sobreviver mais de 200 semanas. Observações abaixo de 200 recebem um sinal de menos (-); observações acima de 200 recebem um sinal de mais (+). Para os tempos de sobrevivência dos sujeitos, há 7 observações abaixo de 200 semanas (-) e 3 observações acima de 200 semanas (+) para a amostra com 10 sujeitos.

Já que qualquer observação tem a mesma probabilidade de estar acima ou abaixo da mediana da população, o número de observações acima de 200 terá uma distribuição binomial com média igual a 0,5. Qual é a probabilidade de um resultado tão extremo quanto 7 em 10 sujeitos com tempos de sobrevivência abaixo da mediana? Isto é exatamente igual à probabilidade de um resultado tão extremo quanto 7 caras em 10 jogos de cara ou coroa com uma moeda justa. Já que este é um teste bilateral, um resultado extremo pode ser tanto três caras ou menos ou sete caras ou menos.

A probabilidade de observar caras em 10 jogos de cara ou coroa, sendo é dada pela fórmula binomial:A probabilidade para cada valor de é dada na tabela abaixo:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,0010 0,0098 0,0439 0,1172 0,2051 0,2461 0,2051 0,1172 0,0439 0,0098 0,0010