Nos fundamentos da matemática, a teoria dos conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) é uma teoria axiomática dos conjuntos que é uma extensão conservadora da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha (ZFC). A NBG introduz a noção de classe, que é uma coleção de conjuntos definida por uma fórmula cujos quantificadores variam apenas sobre conjuntos. A NBG pode definir classes que são maiores do que conjuntos, tais como a classe de todos os conjuntos e a classe de todos os ordinais. A teoria dos conjuntos de Morse-Kelley (MK) permite que as classes sejam definidas por fórmulas cujos quantificadores variam sobre classes. A NBG é finitamente axiomatizável, enquanto a ZFC e a MK não o são.

Um teorema fundamental da NBG é o teorema de existência de classe, que afirma que para toda a fórmula cujos quantificadores variam apenas sobre conjuntos, existe uma classe que consiste nos conjuntos que satisfazem a fórmula. Esta classe é construída espelhando a construção passo a passo da fórmula com classes. Visto que todas as fórmulas da teoria dos conjuntos são construídas a partir de dois tipos de fórmulas atômicas (pertinência e igualdade) e de um número finito de símbolos lógicos, apenas um número finito de axiomas é necessário para construir as classes que as satisfazem. É por isso que a NBG é finitamente axiomatizável. As classes também são usadas para outras construções, para lidar com os paradoxos da teoria dos conjuntos e para formular o axioma da escolha global, que é mais forte do que o axioma da escolha da ZFC.

John von Neumann introduziu as classes na teoria dos conjuntos em 1925. As noções primitivas da sua teoria eram a função e o argumento. Usando estas noções, ele definiu classe e conjunto.; Tradução para o inglês: . Paul Bernays reformulou a teoria de von Neumann tomando classe e conjunto como noções primitivas., pp. 66–67. Kurt Gödel simplificou a teoria de Bernays para a sua prova de consistência relativa do axioma da escolha e da hipótese do contínuo generalizada..

Classes na teoria dos conjuntos Os usos das classes As classes têm vários usos em NBG: Elas produzem uma axiomatização finita da teoria dos conjuntos.. Elas são usadas para formular uma "forma muito forte do axioma da escolha". — a saber, o axioma da escolha global: Existe uma função de escolha global definida na classe de todos os conjuntos não vazios tal que para todo conjunto não vazio Isso é mais forte do que o axioma da escolha de ZFC: Para todo conjunto de conjuntos não vazios, existe uma função de escolha definida em tal que para todo Os paradoxos da teoria dos conjuntos são contornados ao reconhecer que algumas classes não podem ser conjuntos. Por exemplo, suponha que a classe de todos os ordinais seja um conjunto. Então é um conjunto transitivo bem ordenado por . Logo, por definição, é um ordinal. Consequentemente, , o que contradiz o fato de ser uma boa ordem para Portanto, não é um conjunto. Uma classe que não é um conjunto é chamada de classe própria; é uma classe própria.. Classes próprias são úteis em construções. Em sua prova da consistência relativa do axioma da escolha global e da hipótese do contínuo generalizada, Gödel usou classes próprias para construir o universo construtível. Ele construiu uma função sobre a classe de todos os ordinais que, para cada ordinal, constrói um conjunto construtível aplicando uma operação de construção de conjuntos a conjuntos previamente construídos. O universo construtível é a imagem dessa função..

Esquema de axiomas versus teorema de existência de classe Uma vez que as classes são adicionadas à linguagem de ZFC, é fácil transformar ZFC em uma teoria dos conjuntos com classes. Primeiro, o esquema de axiomas da compreensão de classes é adicionado. Este esquema de axiomas afirma: Para toda fórmula que quantifica apenas sobre conjuntos, existe uma classe consistindo nas que satisfazem a fórmula — isto é, Em seguida, o esquema de axiomas da substituição é substituído por um único axioma que usa uma classe. Finalmente, o axioma da extensionalidade de ZFC é modificado para lidar com classes: Se duas classes têm os mesmos elementos, então elas são idênticas. Os outros axiomas de ZFC não são modificados.

Esta teoria não é finitamente axiomatizada. O esquema de substituição de ZFC foi substituído por um único axioma, mas o esquema de axiomas de compreensão de classes foi introduzido.

Para produzir uma teoria com uma quantidade finita de axiomas, o esquema de axiomas da compreensão de classes é primeiro substituído por finitos axiomas de existência de classe. Em seguida, esses axiomas são usados para provar o teorema da existência de classe, que implica cada instância do esquema de axiomas. A prova deste teorema requer apenas sete axiomas de existência de classe, que são usados para converter a construção de uma fórmula na construção de uma classe que satisfaça a fórmula.

Axiomas de existência de classe e axioma da regularidade Os axiomas de existência de classe serão usados para provar o teorema de existência de classe: Para toda fórmula com variáveis de conjunto livres que quantifica apenas sobre conjuntos, existe uma classe de que a satisfaz. O exemplo a seguir começa com duas classes que são funções e constrói uma função composta. Este exemplo ilustra as técnicas necessárias para provar o teorema de existência de classe, as quais levam aos axiomas de existência de classe que são necessários.

Exemplo 1: Se as classes e são funções, então a função composta é definida pela fórmula: Como esta fórmula tem duas variáveis de conjunto livres, e o teorema de existência de classe constrói a classe de pares ordenados:

Como esta fórmula é construída a partir de fórmulas mais simples usando a conjunção e a quantificação existencial , são necessárias operações de classe que tomam classes representando as fórmulas mais simples e produzem classes representando as fórmulas com e . Para produzir uma classe representando uma fórmula com , usa-se a interseção, uma vez que Para produzir uma classe representando uma fórmula com , usa-se o domínio, uma vez que

Antes de realizar a interseção, as tuplas em e precisam de um componente extra para terem as mesmas variáveis. O componente é adicionado às tuplas de e é adicionado às tuplas de : e Na definição de a variável não é restrita pela declaração então varia sobre a classe de todos os conjuntos. Similarmente, na definição de a variável varia sobre Assim, é necessário um axioma que adicione um componente extra (cujos valores variem sobre ) às tuplas de uma dada classe.

A seguir, as variáveis são colocadas na mesma ordem para prepará-las para a interseção: e Para ir de para e de para , são necessárias duas permutações diferentes, portanto, são necessários axiomas que suportem permutações de componentes de tuplas.

A interseção de e lida com :

Como é definido como , obter o domínio de lida com e produz a função composta:

Logo, são necessários os axiomas de interseção e domínio.

Os axiomas de existência de classe estão divididos em dois grupos: axiomas para lidar com primitivas da linguagem e axiomas para lidar com tuplas. Existem quatro axiomas no primeiro grupo e três axiomas no segundo grupo.

Axiomas para lidar com primitivas da linguagem:

Pertinência. Existe uma classe contendo todos os pares ordenados cujo primeiro componente é um membro do segundo componente. Axioma B1 de Gödel ().

Interseção (conjunção). Para quaisquer duas classes e , existe uma classe consistindo precisamente dos conjuntos que pertencem tanto a quanto a . Axioma B2 de Gödel ().

Complemento (negação). Para qualquer classe , existe uma classe consistindo precisamente dos conjuntos que não pertencem a . Axioma B3 de Gödel ().

Domínio (quantificador existencial). Para qualquer classe , existe uma classe consistindo precisamente dos primeiros componentes dos pares ordenados de . Axioma B4 de Gödel ().

Pelo axioma da extensionalidade, a classe no axioma da interseção e a classe nos axiomas do complemento e domínio são únicas. Elas serão denotadas por: e respectivamente.

Os três primeiros axiomas implicam a existência da classe vazia e da classe de todos os conjuntos: O axioma da pertinência implica a existência de uma classe Os axiomas de interseção e complemento implicam a existência de , que é vazia. Pelo axioma da extensionalidade, esta classe é única; ela é denotada por O complemento de é a classe de todos os conjuntos, que também é única por extensionalidade. O predicado de conjunto , que foi definido como , agora é redefinido como para evitar quantificar sobre classes.

Axiomas para lidar com tuplas:

Produto por . Para qualquer classe , existe uma classe consistindo dos pares ordenados cujo primeiro componente pertence a . Axioma b(3) de Bernays ().

Permutação circular. Para qualquer classe , existe uma classe cujas 3-tuplas são obtidas aplicando a permutação circular às 3-tuplas de . Axioma B7 de Gödel ().

Transposição. Para qualquer classe , existe uma classe cujas 3-tuplas são obtidas transpondo os dois últimos componentes das 3-tuplas de . Axioma B8 de Gödel ().

Por extensionalidade, o axioma do produto por implica a existência de uma classe única, que é denotada por Este axioma é usado para definir a classe de todas as : e Se é uma classe, a extensionalidade implica que é a classe única consistindo nas de Por exemplo, o axioma da pertinência produz uma classe que pode conter elementos que não são pares ordenados, enquanto a interseção contém apenas os pares ordenados de .

Os axiomas da permutação circular e transposição não implicam a existência de classes únicas porque especificam apenas as 3-tuplas da classe Ao especificar as 3-tuplas, esses axiomas também especificam as para já que: Os axiomas para lidar com tuplas e o axioma do domínio implicam o seguinte lema, que é usado na prova do teorema de existência de classe.

Lema da tupla:

Prova do lema: Classe : Aplique produto por a para produzir Classe : Aplique transposição a para produzir Classe : Aplique permutação circular a para produzir Classe : Aplique permutação circular a , em seguida aplique o domínio para produzir ∎

Mais um axioma é necessário para provar o teorema de existência de classe: o axioma da regularidade. Como a existência da classe vazia foi provada, é dada a declaração usual desse axioma.

Axioma da regularidade. Todo conjunto não vazio tem pelo menos um elemento com o qual não tem nenhum elemento em comum.

Este axioma implica que um conjunto não pode pertencer a si mesmo: Suponha que e seja Então já que Isso contradiz o axioma da regularidade porque é o único elemento em Portanto, O axioma da regularidade também proíbe sequências de pertinência descendentes infinitas de conjuntos:

Gödel declarou a regularidade para classes em vez de para conjuntos em sua monografia de 1940, que foi baseada em palestras dadas em 1938.; . Em 1939, ele provou que a regularidade para conjuntos implica a regularidade para classes.; . Ambas as referências contêm a prova de Gödel, mas a de Kanamori é mais fácil de seguir porque ele usa terminologia moderna.

Teorema de existência de classe

Teorema de existência de classe: Seja uma fórmula que quantifica apenas sobre conjuntos e não contém variáveis livres além de (não necessariamente todas elas). Então, para todo , existe uma classe única de tal que: A classe é denotada por

A prova do teorema será feita em dois passos: Regras de transformação são usadas para transformar a fórmula dada numa fórmula equivalente que simplifica a parte indutiva da prova. Por exemplo, os únicos símbolos lógicos na fórmula transformada são , , e , de modo que a indução lida com símbolos lógicos em apenas três casos. O teorema de existência de classe é provado indutivamente para fórmulas transformadas. Guiado pela estrutura da fórmula transformada, os axiomas de existência de classe são usados para produzir a classe única de que satisfaz a fórmula.