Um sistema dinâmico não linear é um sistema determinista, cujo comportamento futuro é previsível segundo a Teoria do Caos, se as condições iniciais do sistema forem perfeitamente conhecidas. A alta sensibilidade às condições inciais, porém, dá ao sistema não linear a característica de instabilidade, o que faz com que seja incorretamente confundido com um sistema aleatório. Enquanto o comportamento futuro do sistema não linear pode ser determinado se as condições iniciais forem perfeitamente conhecidas, o mesmo não ocorre com um sistema aleatório. Embora um sistema não linear evolua no tempo com um comportamento instável e aperiódico, tal comportamento é determinístico, pois seu estado futuro pode ser conhecido, desde que conhecido o seu estado atual. O estado futuro pode, porém, ser radicalmente modificado a partir de pequenas mudanças no estado atual. A dificuldade de se conhecer o estado presente com exatidão leva à necessidade de modelar o sistema não linear como aleatório, em algumas situações, quando os detalhes do comportamento não são de interesse, embora ele seja, na realidade, determinístico.

Caoticidade

Os sistemas dinâmicos não lineares podem ser exemplificados com movimentos econômicos da economia mundial, movimentos atmosféricos, ou meteorológicos, além de outros. A característica principal dos sistemas dinâmicos não lineares é a caoticidade, relativo ao comportamento caótico.

Fractais

Um exemplo típico é a geometria fractal que inicialmente foi desenvolvida como ferramenta matemática para uso estatístico na economia. Após certo tempo, houve pesquisas que relacionaram os fractais às complexidades. Estas, por sua vez, comprovaram que os sistemas econômicos são dinâmicos e sua evolução leva a previsão futura ser extremamente dependente do comportamento passado, demonstrando assim uma não linearidade.

Realimentações

O comportamento não linear, pelo fato de ser dinâmico evolui no tempo através de realimentações que vão sendo inseridas à medida que avança o sistema e, ao avançar é influído por realimentações, positivas ou negativas, que por sua vez redundam em novas realimentações que influem no sistema regulando-o ora construtivamente, ora destrutivamente.

Tecido comportamental

No caso dos sistemas dinâmicos lineares, existem respostas ordenadas e lisas (À exemplo de um tecido liso) onde os eventos futuros ocorrem dentro de margens estatísticas previsíveis.

No caso dos sistemas dinâmicos não lineares, as respostas podem ser consideradas também ordenadas (Pode-se dizer que existe um tecido também), mas as resultantes futuras dos eventos não são lisas, ao contrário, são ásperas, pois, suas superfícies são extremamente corrugadas, isto é, os resultados são caóticos, contradizentes, porém, sempre haverá um padrão reconhecível, mas nunca estático, sempre dinâmico, isto é, variável no domínio do tempo.

Teoria do Caos Na teoria do caos é utilizado um exemplo prático bastante ilustrativo da dinâmica dos sistemas lineares e não lineares:

Imagine uma pedra atirada numa piscina de águas límpidas e extremamente estáticas, as ondas geradas na queda da pedra se propagam até as margens de forma ordenada e sequencial, refletem nas paredes da borda e retornam, cruzando-se entre si e, portanto, interagindo, se realimentando, ora positivamente, ora negativamente.

Sistema de previsibilidade linear As ondas continuam seu trajeto já distorcidas pelas realimentações, (em direção às margens opostas), sofrendo ainda mais e mais interações ocasionadas pelos entrecruzamentos, que geram mais realimentações.

Neste momento começam a ocorrer alguns movimentos "aparentemente" caóticos, mas ainda previsíveis, pois são padrões das ondas, o sistema ainda pode-se dizer "linear".

Sistema de previsibilidade não linear Ao avançar do tempo, a piscina já está com bastante movimento em sua superfície, se continuarmos jogando pedras com tamanhos e formas diferentes aleatoriamente, (quanto mais pedras diferentes forem atiradas, mais realimentações e reflexões acontecerão), mais caótico será o padrão das ondas "na superfície", assim, mais difícil será o reconhecimento de um "padrão" estático.

Imaginemos que no fundo desta piscina exista camada de areia finíssima (à exemplo de uma laguna), apesar dos movimentos aleatórios na superfície da piscina, no fundo haverá determinados padrões nesta areia, caóticos sim, mas seguirão sempre a um padrão de ondas de diversas formas, tamanhos, alturas, etc. Estas mudarão à medida que o corrugamento da superfície muda, porém, apesar de todo o caos dos movimentos na parte superior, é reconhecido um padrão naquela areia no fundo ocasionado pelos movimentos da água. Este padrão é a resultante das inserções aleatórias no movimento que redundam num "sistema dinâmico não linear".

Sistemas não lineares Um sistema autônomo, não linear, de segunda ordem, é definido por duas equações diferenciais[Introdução aos sistemas dinâmicos. Porto: Jaime E. Villate, 27 de fevereiro de 2007. 204 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN 9-729-93960-8

onde as funções e não são simples combinações lineares das variáveis e

Não existem técnicas analíticas gerais para resolver esse tipo de equações.

Os métodos numéricos apresentam mais problemas neste caso, do que no caso das equações lineares.

No entanto, a análise gráfica no espaço de fase pode fornecer muita informação sobre o comportamento do sistema. É essencial começar por identificar os pontos fixos. Na próxima secção veremos que na região perto de cada ponto fixo o sistema comporta-se de forma semelhante a um sistema linear.

Linearização As duas funções e podem ser escritas na forma de uma série de Taylor:

Na vizinhança do ponto os 3 termos apresentados nas duas séries acima constituem uma boa aproximação ao valor real da função. Se for um ponto fixo do sistema, e serão nulas e, portanto, o primeiro termo de cada série desaparecerá. Mudando a origem de coordenadas para o ponto fixo isto é, num sistema de coordenadas as funções são, aproximadamente,

Substituindo no sistema, obtém-se um sistema linear. Repare que porque é uma constante, e porque também é constante.

esta aproximação linear só será válida numa vizinhança da origem nomeadamente, perto do ponto fixo.

A matriz do sistema linear acima designa-se por matriz jacobiana. É uma matriz constante, obtida a partir das derivadas das funções de estado, substituindo as variáveis pelos valores no ponto fixo. Por cada ponto fixo existirá uma matriz jacobiana diferente. Os valores e vectores próprios de cada uma dessas matrizes permitem estudar a estabilidade do sistema, na vizinhança do ponto fixo respectivo, da mesma forma que é feito para os sistemas lineares.

Método de Runge-Kutta

Na aproximação

usamos o método de Euler, para calcular o valor da função no instante a partir da derivada no instante

Para melhorar o método será preciso usar uma melhor aproximação ao valor médio da derivada, no intervalo thumb|350px|Os quatro valores da derivada usados no método de Runge-Kutta de quarta ordem. Neste caso para o sistema na verde mostra-se a solução exata desse sistema. No método de Runge-Kutta de quarta ordem, o valor da derivada, obtém-se a partir da média das derivadas em 4 pontos diferentes, com pesos diferentes (figura ao lado).

Começa-se por calcular a derivada no ponto inicial, tal como no método de Euler:

a seguir, realiza-se um deslocamento na direção dessa derivada, avançando uma distância no tempo, até um ponto 1 (ver figura). Nesse ponto 1, calcula-se um segundo valor da derivada:

Esse novo valor da derivada é usado novamente, para realizar outro deslocamento a partir do ponto inicial, avançando no sentido do tempo, até um outro ponto 2, onde é calculado um terceiro valor da derivada:

seguindo o a direção da derivada realiza-se um terceiro deslocamento, a partir do ponto inicial, desta vez avançando uma distância no eixo do tempo, para chegar até um ponto 3, onde se calcula um quarto valor da derivada:

Pode mostrar-se que o valor da derivada que conduz a um erro mínimo é a combinação linear:

no exemplo da figura, esse valor médio da derivada desloca o ponto inicial até o ponto 4, que está bastante perto da solução exata da equação.

Em cada ponto calcula-se o valor médio da derivada usando o mesmo processo, e com esse valor médio, obtém-se o ponto seguinte na forma habitual:

Sistemas autônomos no plano

Um sistema dinâmico autônomo, com duas variáveis de estado e é caraterizado por duas equações de evolução:

onde e são duas funções quaisquer, que dependem das variáveis e Não existem técnicas analíticas gerais para resolver esse tipo de equações; unicamente existem técnicas analíticas gerais para o caso dos sistemas lineares, em que e são combinações lineares das variáveis e

Os sistemas não lineares geralmente só podem ser resolvidos por métodos numéricos. No entanto, a análise gráfica no espaço de fase pode fornecer muita informação sobre o comportamento do sistema.

Pontos de equilíbrio

Os sistemas lineares têm um único ponto de equilíbrio. Um sistema não linear pode ter qualquer número de pontos de equilíbrio.

Existem quatro pontos de equilíbrio. Os pontos onde o lado direito da primeira equação é nulo, são todos os pontos da elipse e os pontos onde o lado direito da segunda equação é nulo são os pontos da hipérbole thumb|right|300px|Os pontos de equilíbrio são os pontos de interseção entre as curvas onde cada uma das funções é nula. Os pontos de equilíbrio do sistema são os quatro pontos de interseção entre a elipse e a hipérbole. Os gráficos dessas duas curvas desenham-se mais facilmente usando a forma paramétrica dessas equações:

O resultado é apresentado na figura 10.1. Dentro da elipse, é positiva: o campo de direções aponta para a direita, e fora da elipse o campo aponta para a esquerda. Na região à esquerda da hipérbole, o campo de direções aponta para baixo, entre os dois ramos da hipérbole o campo aponta para cima, e à direita da hipérbole o campo aponta para baixo.

Aproximação linear

Cada uma das funções e podem ser escritas na forma de uma série de Taylor, na vizinhança de um ponto qualquer do espaço de fase:

Se o ponto for um ponto de equilíbrio, é nula e, portanto, o primeiro termo da série é nulo.

Mudando a origem de coordenadas para o ponto fixo isto é, num novo sistema de coordenadas: as funções são, aproximadamente,

Os índices indicam que e deverão ser substituídos pelas coordenadas do respetivo ponto de equilíbrio. Substituindo essas aproximações no sistema anterior, obtém-se um sistema linear (repare-se que porque é uma constante, e porque também é constante).

esta aproximação linear só será válida numa vizinhança da origem nomeadamente, perto do ponto fixo.

A matriz do sistema linear (aproximação linear) designa-se por matriz jacobiana,

Substituindo as coordenadas do ponto de equilíbrio na matriz jacobiana, obtém-se uma matriz constante. Por cada ponto de equilíbrio existe uma matriz de coeficientes constantes, que corresponde à aproximação linear perto desse ponto de equilíbrio. Os valores e vetores próprios de cada uma dessas matrizes permitem analisar a estabilidade do sistema, na vizinhança do respetivo ponto de equilíbrio, da mesma forma que é feito para os sistemas lineares.

Sistemas Não Lineares Físicos O pêndulo

O tipo de pêndulo a seguir está formado por um disco de massa e raio ligado a uma barra rígida de massa desprezável em comparação com No outro extremo da barra passa um eixo horizontal que permite que o pêndulo rode num plano vertical, descrevendo trajetórias circulares com raio onde é a distância desde o centro do disco até o eixo de rotação. (figura abaixo).

thumb|left|350px|Pêndulo formado por um disco e uma barra que pode rodar à volta de um eixo horizontal.