Em matemática, a transformada de Hankel é uma transformada integral bastante relacionada com a transformada de Fourier multidimensional, proposta pelo matemático alemão Hermann Hankel (ver também Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier). Encontra aplicação na análise de problemas em que se verifica simetria em duas ou mais dimensões, permitindo a substituição de coordenadas cartesianas pelo raio polar; por exemplo, em duas dimensões, faz-se
e escreve-se f(r) em lugar de f(x,y), diminuindo-se a complexidade do problemaBracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, ISBN 978-0-1381-4757-0, Cap. 13, pp. 335-339, 343. Um bom exemplo é a equação de Laplace, geralmente uma equação diferencial parcial em x e y, e que se torna uma equação diferencial ordinária em r quando expressa em coordenadas cilíndricasR. Piessens - The Hankel Transform in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 9, pp. 834-977 (ver exemplos).
Essa transformada é também conhecida como Transformada de Bessel, uma vez que o núcleo da transformação consiste em uma função de Bessel de primeira espécie.
A Transformada de Hankel relaciona-se de forma interessante com a Transformada de Fourier e a Transformada de Abel por meio do Teorema da projeção de fatiaS. R. Deans - Radon and Abel Transforms in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 8, pp. 788-793. As transformadas de transformada de Radon e de Tchebychev também podem ser relacionadas à transformada de Hankel (ver detalhes abaixo).
Definição
A transformada de Hankel de ordem ν de uma função f(t) é dada por:
onde Jν é a função de Bessel de primeira espécie de ordem ν, com ν ≥ −1/2. A transformada inversa de Hankel é dada por:
Verifica-se, assim, que a transformada é a sua própria inversa, o que se chama, em matemática, uma involução.
Em espaços multidimensionais, sob condições de simetria, a transformada de Hankel de dimensão n é dada por:
com
Em duas dimensões (n = 2), obtém-se a transformada de Hankel tradicional. Em uma dimensão (n = 1), obtém-se a Transformada de Fourier, após aplicarem-se as identidades
Definições alternativas Definições ligeiramente diferentes podem ser encontradas na literatura especializada. Por exemplo, Howell (2000)K. Howell - Fourier Transforms in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 2, pp. 192-195 e Piessens (2000) adotam as formas seguintes para a transformada e sua inversa:
Bracewell (2000) e Deans (2000) adotam a convenção preferida neste verbete.
Condições de existência São condições suficientes (embora não necessárias) para a existência da integral (1a): que, para valores crescentes de t, f(t) decresça conforme , com que f'(t) seja contínua por partes no intervalo [0,∞] e que para todo t.
Propriedades Derivada
Dilatação do eixo
Divisão por t
Multiplicação por u
Operador diferencial de Bessel
Se , então
onde Δν é o operador diferencial de Bessel:
Teorema de Parseval O teorema de ParsevalTambém referido como Teorema de Plancherel. tem uma fora ligeiramente alterada com relação a outras transformadas conhecidas, devido à geometria radial.
Também é relevante a propriedade
onde o símbolo * indica o conjugado complexo.
Convolução
Momentos
Relação com outras transformadas A transformada de Hankel se relaciona com a transformada de Radon bidimensional por meio da seguinte expressão, em forma de operadores:
Uma expressão similar vale para a transformada de Tchebychev
S. Deans - op. cit., pp. 792 a 793
A transformada de Hankel de ordem 0 relaciona-se com as transformadas de Fourier e de Abel conforme a expressão conhecida como ciclo (ou anel) de transformadas de Abel-Fourier-Hankel:
onde o operador denota a transformada de Abel e , a transformada identidade. Cumpre lembrar que a função bidimensional f(x,y), implícita na fórmula, precisa ser circularmente simétrica para que a transformação de Abel possa ser aplicada.
Outras transformações relacionadas
Transformada Finita de Hankel
A Transformada Finita de Hankel é definida como:
onde α é um zero positivo da função Jν(x). Se, por outro lado, α for um zero positivo da função g(x) = hJν(x) + xJ'ν(x), onde h é uma constante qualquer não-negativa, a equação (4a) define a chamada Transformada Finita de Hankel Modificada, KνM.
Uma notação usual para o n-ésimo zero da função Jν(x) é jν,n; uma notação usual para o n-ésimo zero da função hJν(x) + xJ'ν(x) é βν,n,h (ou mesmo apenas βν,n). Para h=0, α passa a ser um zero positivo da função J'ν(x), usualmente denotado por j'ν,n.
As transformações inversas são obtidas através das fórmulas
e
A propriedade importante dessas transformadas é a seguinte:
onde Δν é o operador diferencial de Bessel.
Transformada de Weber
Se em lugar do núcleo Jν(ut) for usada a função
onde Yν é a função de Bessel de segunda espécie de ordem ν, a equação
define a Transformada de Weber de ordem ν de f(t). A transformação inversa é dada por
A propriedade notável dessa transformada é a seguinte: se
então
Transformada multidimensional de Hankel Uma fórmula geral para a transformada de Hankel em n dimensões, válida para situações onde exista a devida simetria, é a seguinte:
Essa fórmula pode ser usada para calcular a transformada de Hankel para n = 3. Com n = 2, a fórmula fornece a definição conhecida de . Com n = 1, obtém-se, após as devidas simplificações, a transformada de Fourier unidimensional.
Tabela de Transformadas de Hankel
Na maioria das vezes, devido ao fato de as funções de Bessel não serem expressas em forma fechada, a avaliação da Transformada de Hankel deve ser feita por métodos numéricos. Em alguns casos, entretanto, ela pode ser escrita como uma fórmula relativamente simples. As tabelas abaixo trazem alguns exemplos.
+ Tabela 1 - Transformadas de Hankel de ordem 0 de algumas funções f(t)onde: é a função degrau unitário é a função impulso unitário é a função retangular é a função gama é a função de Bessel modificada do primeiro tipo de ordem 0 é a função de Bessel modificada do segundo tipo de ordem 0 é a função de Struve de ordem 0 é a função de Struve modificada de ordem 0
+ Tabela 2 - Transformadas de Hankel de ordem ν de algumas funções f(t)onde: é a função degrau unitário é a função gama
Exemplos de aplicação Solução de equação diferencial parcial de Laplace
A transformada de Hankel pode auxiliar na solução da equação de Laplace
Suponhamos que as condições de contorno sejam
onde, devido à simetria, foram escolhidas coordenadas cilíndricas para a formulação. As equações (5a) e (5b) descrevem, por exemplo, o potencial elétrico V em um ponto qualquer (r,θ,z) do espaço tridimensional, causado por um disco eletrificado de raio unitário localizado no plano perpendicuar ao eixo Z e com centro na origem. O potencial do disco é igual a V0.
Para simplificar, novamente devido à simetria do problema, a coordenada polar θ pode ser omitida. A partir da equação do Laplaciano em coordenadas cilíndricas, (5a) se torna então
Aplicando a transformada de Hankel de ordem 0 a (5c), com relação à variável r, obtém-se
onde K0(u,z) é a transformada de Hankel de ordem 0 de V(r,z). A solução óbvia de (5d) é
A "condição de contorno" implícita
implica φ2 idênticamente nula. Assim, ao aplicar-se a transformada inversa a (5e), obtém-se
Aplicando (5f) às condições (5b), teremos
As expressões (5g) e (5h) formam um sistema de equações integrais de Fredholm do primeiro tipo. É conhecida a solução para o caso geral
que coincide com (5g) e (5h) se fizermos . Assim,
Mas
I. Gradshteyn, I. Ryzhik - Table of Integrals, Series, and Products, 7th ed., 2007, San Diego, Academic Press, pág. 676
Fazendo ν = -½ na expressão acima e aplicando em (5i), temos
Lançando mão da identidade
I. Gradshteyn, I. Ryzhik - op. cit., pág. 924
temos
E a resposta do problema é
A expressão (5j) deve ser integrada numericamente para se obter o valor do potencial para cada ponto do espaço.
Notas
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