Em topologia um subconjunto de um espaço topológico é dito denso se para cada ponto desse espaço for possível encontrar um ponto do subconjunto denso tão próximo quanto se queira de .
Definicão e equivalências Seja um espaço topológico; dizemos que é denso no espaço se para cada aberto a intersecção for não-vazia. Verifica-se, facilmente, que as seguintes afirmações são equivalentes é denso; ; Para cada elemento de uma base de , se verifica ; Para cada , cada base local e cada , se verifica .
A cada espaço topológico pode ser associado um cardinal , chamado de densidade do espaço dado por .
Dizemos que um espaço é separável se possuir um denso enumerável, i.e. .
O leitor é convidado a verificar que , onde é o peso do espaço (i.e. a menor cardinalidade que uma base do espaço pode admitir).
Propriedades básicas Sejam espaços topológicos, sendo Hausdorff. Quaisquer funções contínuas que coincidem em um denso de são iguais;
Imagens de denso por sobrejeções contínuas são conjuntos densos;
Exemplos O conjunto dos racionais é denso em com a topologia usual; mais ainda, é denso na reta de Sorgenfray. Isso faz com que ambos espaços sejam separáveis. É notável observar que, embora separável, a reta de Sorgenfray não é segundo-contável, testemunhando, portanto, que a desigualdade não pode ser reposta por uma igualdade. O espaço produto é separável. Para cada espaço de medida e para cada , o espaço é separável. Em particular, os espaços é separável. Mas não é separável. O espaço de Banach das funções de variação limitada não é separável. Separabilidade não é uma propriedade hereditária, i.e. subspaços de espaços separáveis em geral não são separáveis. De fato, topologizando através do sistema de vizinhanças , tal que , se e , se . Nesta topologia, é denso em , mas o conjunto dos irracionais não admite subconjunto denso enumerável. Teorema de Hewitt-Marczeewski-Pondiczery Sejam uma família de espaços topológicos e um cardinal tal que . Se, para cada , então .
Em particular, o teorema acima afirma que o produto de espaços separáveis é um espaço separável.
Bibliografia Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN 3885380064.
Categoria:Topologia algébrica