Em álgebra abstrata, um anel artiniano é um anel que satisfaz a condição de cadeia descendente sobre ideais. Eles também são chamados de anéis de Artin e são assim chamados em homenagem a Emil Artin, que foi o primeiro a descobrir que a condição de cadeia descendente para ideias generaliza simultaneamente os anéis finitos e anéis que são espaços vetoriais de dimensão finita sobre um corpo. A definição de anéis artinianos pode ser reformulada trocando-se a condição de cadeia descendente por uma noção equivalente: a condição minimal.
Um anel é artiniano a esquerda se ele satisfaz a condição de cadeia descendente sobre ideais à esquerda, artiniano à direita se satisfaz a condição de cadeia descendente sobre ideais à direita e artiniano se ele é artiniano à direita e à esquerda. Para anéis comutativos as definições à esquerda e à direita coincidem, mas em geral elas são distintas uma da outra.
O Teorema de Artin–Wedderburn caracteriza todos os anéis simples artinianos como anéis matriciais sobre um anel com divisão. Isso implica que um anel simples é artiniano à esquerda se e somente se ele é artiniano à direita.
Embora a condição de cadeia descendente pareça ser dual à condição de cadeia ascendente, em anéis ela é de fato a condição mais forte. Especificamente, uma consequência do teorema de Akizuki–Hopkins–Levitzki é que um anel artiniano à esquerda (à direita) é automaticamente um anel noetheriano à esquerda (à direita). Isso não é verdade para módulos em geral, ou seja, um módulo artiniano não precisa ser um módulo noetheriano.
Exemplos Um domínio de integridade artiniano é um corpo. Um anel com uma quantidade finita de ideais, digamos à esquerda, é artiniano à esquerda. Em particular, um anel finito (tal como ) é artiniano à esquerda e à direita. Seja um corpo. Então é artiniano para todo inteiro positivo Artinian . Se é um ideal não nulo de um domínio de Dedekind então é um anel artiniano principal.Teorema 459 de http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf Para cada , o anel completo de matrizes sobre um anel artiniano à esquerda (respectivamente noetheriano à esquerda) é artiniano à esqueda (respectivamente noetheriano à esquerda).
O anel dos inteiros é um anel noetheriano que não é artiniano.
Módulos sobre anéis artinianos Seja um módulo à esquerda sobre um anel artiniano. Então as seguintes condições são equivalentes: é finitamente gerado tem comprimento finito é noetheriano é artiniano.
Anéis comutativos artinianos Seja A um anel comutativo noetheriano com unidade. Então as seguintes condições são equivalentes. A é artiniano. A é um produto finito de aneis locais artinianos comutativos., Teoremas 8.7 A / nil(A) é um anel semisimples, onde nil(A) é o nilradical de A.Esboço: Em aneis comutativos, nil(A) está contido no radical de Jacobson de A. Como A/nil(A) é semisimples, nil(A) é na verdade igual ao radical de Jacobson de A. Pelo teorema de Levitzky, nil(A) é um ideal nilpotente. Estes dois últimos fatos mostram que A é um anel semiprimário, e pelo teorema de Hopkins–Levitzki A é artiniano. Todo módulo finitamente gerado sobre A tem comprimento finito. (ver acima) A tem dimensão zero., Teoremas 8.5 (Em particular, o nilradical é o radical de Jacobson pois os ideias primos são maximais.) é finito e discreto. é discreto., Capítulo 8, Exercício 2.
Seja k um corpo e A uma k-álgebra finitamente gerada. Então A é artiniana se e somente se A é finitamente gerada como k-módulo.
Um anel local artiniano é completo. Um quociente e uma localização de um anel artiniano é artiniano.
Ver também Álgebra de Artin Ideal artiniano Módulo serial Anel semiperfeito Anel noetheriano
Notas
Referências
Bourbaki, Algèbre Charles Hopkins. Rings with minimal condition for left ideals. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 712–730.
Categoria:Teoria dos anéis