Em matemática, uma série de Bell é uma série de potências usada para estudar as propriedades de funções aritméticas. As séries de Bell foram introduzidas e desenvolvidas por Eric Temple Bell.*
Dada uma função aritmética e um número primo , define-se a série de potências formalmente , chamada agora de série de Bell de módulo como:
Pode-se demostrar que duas funções multiplicativas são idênticas se todas as suas séries de Bell são iguais; isto às vezes chama-se teorema de unicidade. Dadas as funções mutiplicativas e , tem-se que se e somente se: para todos os primos .
Duas séries podem ser multiplicadas (às vezes chama-se de teorema de multiplicação): Para duas funções aritméticas quaisquer e , seja sua convolução de Dirichlet. Então, para cada primo , tem se que:
Em particular, isto converte em algo trivial encontrar a serie de Bell de uma inversa de Dirichlet.
Se é uma função completamente multiplicativa, então:
Exemplos
A continuação mostra as séries de Bell de funções aritméticas mais conhecidas.
A função de Möbius tem A função φ de Euler tem A identidade multiplicativa da convolução de Dirichlet tem A função de Liouville tem A função potência Idk tem Aqui, Idk é a função completamente multiplicativa . A função divisor tem
Referências
Categoria:Funções aritméticas Categoria:Séries matemáticas