Em matemática, mais exatamente em geometria, a desigualdade de Weitzenböck, assim chamada após Roland Weitzenböck, afirma que para um triângulo de lados , , , e de área , segue a seguinte desigualdade
A igualdade ocorre se e somente se o triângulo é equilátero. A desigualdade de Pedoe é uma generalização da desigualdade de Weitzenböck.
Provas A prova desta desigualdade foi uma das questões da Olimpíada Internacional de Matemática de 1961. Mesmo assim, o resultado não é muito difícil de se obter usando a fórmula de Heron para a área do triângulo:
Primeiro método Este método não assume qualquer conhecimento de desigualdades, exceto que todos os quadrados são não negativos.
e o resultado segue imediatamente tomando-se a raiz quadrada positiva de ambos os lados. Desde a primeira desigualdade pode-se ver que a igualdade ocorre apenas para e se o triângulo é equilátero.
Segundo método Para este método é necessário conhecer previamente a chamada desigualdade do rearranjo e a desigualdade das médias.
Como foi usada a desigualdade do rearranjo e a desigualdade das médias, a igualdade só ocorre se e se o triângulo é equilátero.
Terceiro método Pode ser demostrado que é uma área de um triângulo de Napoleão, sendo:
logo, igual ou maior que 0.
Ver também Desigualdade de Hadwiger–Finsler Desigualdade de Pedoe
Ligações externas
"Weitzenböck's Inequality," uma demonstração interativa por Jay Warendorff - Wolfram Demonstrations Project.
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