Na matemática, mais especificamente na Teoria dos Números, a equação de Pell (também chamada de equação de Pell-Fermat) é a equação:
Onde e são números inteiros e um número natural.
Esta equação foi nomeada em homenagem ao matemático inglês John Pell, foi estudada por Brahmagupta no século VII e por Fermat no século XVII.
Introdução As equações de Pell-Fermat são estudadas há milênios na Índia e na Grécia. Eles tinham uma grande interesse particularmente no caso de = 2 uma vez que sua solução forneciam uma boas aproximações racionais de Baudhayana encontrou os pares (17,12) e (577, 408) forneciam muito boas a aproximações Já Arquimedes usou a equação no caso de n = 3 e obteve a aproximação . com Brahmagupta , que desenvolveu o método chakravala para resolver a equação de Pell e outras equações indeterminadas quadráticas em sua Brahma Sphuta Siddhanta em 628, cerca de mil anos antes da época de Pell. O nome de Pell, nestas equações, ocorre devido a um erro de Euler atribuindo ao matemático inglês John Pell (1610-1685) o estudo da mesma. Aparentemente foi Lord Brouncker (1620-1684) o primeiro matemático europeu moderno a estudar as equações de Pell-Fermat.
Soluções
Note que
Se , isto é, se é um quadrado perfeito, então
Como , então existe natural tal que . Assim, no primeiro caso acima, temos que
Assim,
Substituindo em uma das equações do sistema, teremos que .
Resolvendo o caso
Teremos e . Assim, os pares e são ditos soluções triviais.
Joseph Louis Lagrange provou que, contanto que não seja um quadrado perfeito, a equação de Pell tem infinitas soluções inteiras distintas.
Os inversíveis em Como , então iremos usar os números da forma , números em , para resolver a equação.
Definição Definiremos a norma da seguinte forma Onde e .
Proposição Seja uma solução da equação de Pell, qualquer potência é, também, uma solução da equação de Pell.
Demonstração Usaremos o processo de indução. Assim, note que para
Suponha que para todo , então para , temos que Assim, fica demonstrado que qualquer potência de uma solução é, ainda, uma solução da equação de Pell. Proposição Seja a solução fundamental da equação de Pell e a k-ésima potência de , então
Demonstração Note que , logo
Comparando os termos, temos que . Observação: note que é a solução fundamental
O grupo dos inversíveis em
Seja a restrição,
Onde
e (inversíveis em ).
Note que a norma definida dessa forma é um homomorfismo.
Agora iremos verificar que é um grupo:
Associatividade: como e a operação é a multiplicação usual, garantimos a associatividade; Elemento neutro: Note que , logo, ; Inverso : Por construção, todo possui inverso.
Seja a solução fundamental da equação de Pell, então ainda será uma solução da equação, logo, gera , portanto, é um grupo cíclico, logo, abeliano. Assim,
Aplicações Da equação de Pell, temos que , logo
Intuitivamente, podemos perceber que a razão nos dará boas aproximações para quando for pequeno. Matematicamente, podemos formular essa ideia como
Com isso, podemos usar frações continuadas para escrever o número irracional na forma
Exemplo Seja a equação de Pell . A solução fundamental dessa equação é o par , pois, . Assim, , então , daí
Fazendo a razão entre os coeficientes das soluções, temos que
Essas razões estão se aproximando de
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