Em geometria diferencial, o Problema de Yamabe diz respeito à existência de métricas riemannianas com curvatura escalar constante dentro de uma determinada classe conforme em uma variedade riemanniana suave e compacta.
Proposto pelo matemático japonês Hidehiko Yamabe em 1960, o problema pergunta: dada uma variedade riemanniana compacta e fechada de dimensão , existe sempre uma métrica conformemente equivalente a cuja curvatura escalar seja constante?
O problema foi solucionado afirmativamente após os esforços combinados de Neil Trudinger, Thierry Aubin e Richard Schoen, cuja etapa final em 1984 utilizou de forma decisiva o teorema da massa positiva da relatividade geral.
Formulação matemática
Mudança conforme da métrica Duas métricas riemannianas e em uma variedade são ditas conformalmente equivalentes se existir uma função suave tal que . Em dimensão , é analiticamente conveniente reescrever o fator de escala na forma:
onde é uma função estritamente positiva ().
Sob esta transformação, a nova curvatura escalar relaciona-se com a curvatura original por meio da equação:
onde denota o operador de Laplace-Beltrami (segundo a convenção dos geômetras, cujo espectro sobre funções compactas é não positivo).
O operador diferencial linear definido por:
é denominado operador conforme Laplaciano (ou operador de Yamabe). O expoente é denominado expoente crítico de Sobolev para a imersão de Sobolev .
O Problema de Yamabe equivale a encontrar uma solução suave e estritamente positiva para a equação diferencial parcial elíptica semilinear:
para alguma constante .
Abordagem variacional e o invariante de Yamabe O problema possui formulação variacional natural. Define-se o funcional de Yamabe (que associa a cada função a curvatura escalar total normalizada da métrica conformal correspondente) por:
para com .
O invariante de Yamabe (ou constante conforme de Yamabe) da classe conforme é o ínfimo:
As soluções da equação de Yamabe correspondem aos pontos críticos do funcional . A dificuldade analítica central reside no fato de que a imersão do espaço de Sobolev no espaço não é compacta (devido à invariância de escala induzida pelas dilatações conformes), impossibilitando a aplicação direta do método variacional direto padrão.
Resolução histórica
O trabalho inicial de Yamabe (1960) Em 1960, Hidehiko Yamabe publicou um artigo afirmando ter demonstrado a existência de soluções para quaisquer variedades riemannianas compactas. Seu método consistia em regularizar o funcional submetendo o expoente a valores subcríticos (onde a compacidade de Sobolev é preservada pelo Teorema de Rellich-Kondrachov) e tomar o limite .
A correção de Trudinger (1968) Em 1968, Neil Trudinger descobriu um erro fundamental na passagem ao limite no trabalho de Yamabe: a convergência das soluções subcríticas no espaço uniforme não era garantida na presença do expoente crítico. Trudinger conseguiu consertar a demonstração sob a hipótese restritiva de que ou quando o invariante fosse estritamente inferior a uma constante suficientemente pequena.
A contribuição de Aubin (1976) Thierry Aubin estabeleceu um critério geométrico decisivo: seja a esfera euclidiana com a métrica canônica redonda . Aubin provou que se o invariante satisfizer a desigualdade estrita:
então o ínfimo do funcional de Yamabe é sempre atingido por uma função suave positiva, garantindo a existência da métrica de curvatura escalar constante.
Além disso, Aubin construiu funções-teste baseadas em coordenadas normais e no tensor de Weyl para demonstrar que essa desigualdade estrita é sempre válida para qualquer variedade compacta de dimensão que não seja localmente conformemente plana.
A demonstração final de Schoen (1984) Os casos restantes consistiam em: Variedades de dimensões ; Variedades localmente conformemente planas de qualquer dimensão.
Em 1984, Richard Schoen solucionou integralmente esses casos restantes. Schoen utilizou a função de Green do operador conforme Laplaciano para construir uma métrica assintoticamente plana sobre . O termo de ordem constante no desenvolvimento assintótico da função de Green é proporcional à massa ADM do espaço.
Aplicando o teorema da massa positiva (demonstrado previamente por Schoen e Shing-Tung Yau em 1979 via superfícies mínimas e por Edward Witten em 1981 via espinores), Schoen provou que a massa ADM estrita implica a validade universal da desigualdade de Aubin para todos os casos pendentes não conformes à esfera redonda padrão.
Unicidade e compacidade Embora a existência de ao menos uma métrica de curvatura escalar constante em cada classe conforme esteja provada, a solução em geral não é única: Se , a métrica com curvatura escalar constante é única (a menos de multiplicação por constante positiva). Se , podem existir múltiplas soluções métricas não equivalentes na mesma classe conforme (como ocorre na própria esfera padrão sob a ação do grupo de transformações de Möbius).
A conjectura de compacidade para o conjunto de todas as soluções de Yamabe em variedades não conformes à esfera foi investigada ao longo de duas décadas e provada por Richard Schoen, Marcus Khuri e Fernando Codá Marques.
Tópicos relacionados e extensões Fluxo de Yamabe: Uma equação de evolução parabólica intrínseca introduzida por Richard S. Hamilton para deformar metricamente uma variedade na direção de curvatura escalar constante (). Problema de Yamabe com bordo: Generalização para variedades riemannianas com bordo suave, onde se busca prescrever a curvatura escalar no interior e a curvatura média no bordo (problema de Escobar). Problema de Nirenberg: O análogo do problema de Yamabe para a prescrição de funções não constantes como curvatura escalar sobre a 2-esfera .
Ver também Geometria riemanniana Curvatura escalar Equação diferencial parcial
Referências
Bibliografia
Categoria:Geometria riemanniana Categoria:Equações diferenciais parciais Categoria:Teoremas de matemática