A história da aritmética abrange o período a partir do surgimento da contagem antes da definição formal dos números e operações aritméticas sobre eles por um sistema de axiomas. A aritmética - a ciência dos números, suas propriedades e relações - é uma das ciências matemáticas básicas, sendo está intimamente relacionada com álgebra e teoria dos números.

thumb|350px|right|A Aritmética (1492-1495), pintura de Pinturicchio, no Aposento Borgia do Palácio do Vaticano, Roma.

A aritmética tornou-se uma necessidade prática, a longo prazo, para medidas simples e cálculos. A primeira informação confiável sobre o conhecimento aritmética é encontrada nos monumentos históricos do Antigo Egito e na Babilônia, relativa ao 3°-2° milênio a.C. Os matemáticos gregos tiveram grande contribuição para o desenvolvimento da aritmética, particularmente os pitagóricos, que tentaram usar números para identificar todas as leis do mundo. Na Idade Média, as principais áreas de aplicação da aritmética eram o comércio e os cálculos aproximados. A aritmética desenvolveu-se principalmente na Índia e países islâmicos, e só depois veio para a Europa Ocidental. Na astronomia náutica do século XVII, a mecânica, os cálculos de navegação, os cálculos de negócios mais complexos criaram novas solicitações aritméticas para a técnica de computação e deram um impulso promovendo seu desenvolvimento.

As bases teóricas do número como representação associadas principalmente com a definição de um número natural e axiomas de Peano foram formuladas em 1889. Foram seguidos pela definição estrita de números racionais, reais, negativos e complexos. A expansão adicional do conceito de número só foi possível nos casos de falhas de algumas das leis de aritmética.

O surgimento de aritmética

thumb|right|200px|Entalhes em osso (Osso de Ishango), mostrando contagem, encontrada perto do Lago Eduardo, com mais de 30 mil anos.Boyer & Merzbach, 2010, Concepts and Relationships.

Se em dois conjuntos (conjunto de objetos), cada elemento do conjunto tem um único par no outro conjunto, consequentemente, estes conjuntos têm a mesma cardinalidade.MacDuffee, C. C. Aritmética (Eng.). Encyclopædia Britannica. Retirado em 20 de março de 2012. Arquivado da fonte original em 28 de maio de 2012. Tal comparação real, quando as coisas são dispostas em duas fileiras, foram usadas por tribos mais primitivas, pré-históricas em trocas,История математики (História da Matemática), т. I, 1970, pp. 9—12. tornando-se possível estabelecer relações quantitativas entre grupos de objetos e não requerer o conceito de número.Депман, 1965, с. 18—20.

Mais tarde, houve a contagem padrão natural, por exemplo, com os dedos e então o conjunto em padrões, tais como as mãos. Com o aparecimento de padrões que representam o número específico, e estes associados com um conceito de número. Além disso, foi comparado o número de indivíduos com a lua no céu, o número de olhos, o número de dedos em uma mão. Mais tarde, muitos padrões foram substituídos por um mais confortável, geralmente ele se tornaram dedos (5, 10) ou artelhos (mais 5, mais 10 na contagem, totalizando 20).

O passo seguinte foi o surgimento de um conceito comum de número. Para o idioma protoindo-europeu, que usou o sistema de numeração decimal, os nomes dos números já foram reconstruídos até cem, inclusive.Mallory, J. P. Encyclopedia of Indo-European Culture / J. P. Mallory, Q. A. Douglas. — L. : Fitzroy Dearborn Publishers, 1997. — P. 398. — ISBN 9781884964985. Lebesgue, nesta ocasião, disse: "É possível que, se as pessoas tivessem onze dedos, que seria aceita a notação unodecimal".

Registrou-se os resultados de contagem usando entalhes em madeira ou osso, nós em cordas - marcações de contagem artificiais.История математики, т. I, 1970, с. 12—13.Арнольд, 1970. O osso rádio de um lobo jovem com 55 entalhes foi encontrado em 1937 perto da vila de Dolní Věstonice (República Checa). A idade do achado é de cerca de 5.000 anos (de acordo com outros dados, cerca de 30 mil anos), sendo por um longo tempo, a mais antiga gravação conhecida. B.A. Frolov, especialista em Paleolítico de Novosibirsk, vê nos padrões gráficos do Paleolítico Superior, começando com os monumentos de Dolní Věstonice, muitas evidências de que as pessoas desta era (Cro-Magnon) distinguiam claramente determinado números de elementos idênticos e certa quantidade, muitas vezes, enfatizou, sobre 5 ou 7 indivíduos, bem como múltiplos (especialmente 10 e 14).Фролов, Б. А. Числа в графике палеолита. (Números paleolíticos na carta) — Новосибирск : Наука, 1974. — С. 93—94.

Ao nomear-se os números usou-se tanto nomes indecomponíveis (tais números são chamados de nós), ou nomes compostos por nomes algorítmicos.Арифметика, 1951, с. 12—13 Neste caso, uma combinação de algoritmos numéricos com base em operações aritméticas realizadas sobre os números nodais.Арифметика, 1951, с. 24

A numeração, bem como os nomes de números, baseou-se em um dos três princípios:

Aditivo (additio - adição) - indicações para 1, 10, 100, e repetição destes sinais (1n, 10n, 100n); Subtrativo (subtractio - subtração) - uma combinação de números de mn, em que m<n, é igual à diferença n-m; Multiplicativo (multiplicatio - multiplicação) - uma combinação de números equivalentes ao produto mn, usado para os nomes de dezenas e centenas nas línguas indo-europeias, em particular o russo.

Para além do referido, um número de fontes como o princípio mencionado, com base na divisão.Беллюстин, 1909, Глава 4: Различные системы счисления (Capítulo 4: Diferentes sistemas numéricos).Меннингер, 2011, с. 100.

Textos matemáticos antigos e notações

Antigo Egito

Informações básicas sobre matemática egípcia baseada no Papiro de Rhind, que é uma sinopse do escriba egípcio Ahmesa (século XVIII-XVII A.C.) e do Papiro de Moscou. Ambos os papiros pertence à era do Império Médio. As informações sobre os textos matemáticos do Novo Reino, bem como os reinos primeiros e antigos, não sobreviveu.История математики, т. I, 1970, с. 19—20 Papiros matemáticos do Antigo Egito foram feitas para fins de ensino, contendo problemas com soluções, informações de apoio e as regras de resolução números inteiros e frações, contendo progressões aritméticas e geométricas, assim como suas equações.Арнольд, 1970.Scott, 1958, p. 8

300px|thumb|left|Parte do papiro de Rhind

Os egípcios usavam o sistema decimal.Депман, 1965, p. 49—52 Numeração hieroglífica era aditiva sinais especiais de 1, 10, 100, 1000 e assim por diante até dez milhões, enquanto nos sinais hieráticos surgiram para os números de um a nove, para as dezenas, centenas e milhares, e caracteres especiais para frações da forma 1/n ou frações alíquotas (fração egípcia).История математики, т. I, 1970, с. 21

Textos matemáticos egípcios focam o cálculo e as dificuldades que nele surgem, o que depende em grande medida dos métodos de resolução de problemas. Os egípcios usavam as operações aritméticas, como adição, duplicação e adição de frações a um. Qualquer multiplicação e divisão inteira sem qualquer resíduo foram realizados com operações repetitivas de duplicação, resultando em cálculos complicados, que foram assistidos por certos membros da seqüência 1, 2, 4, 8, 16, ...История математики, т. I, 1970, с. 23—24. No Egito, foram usados ​​apenas fração em alíquotas, e todas as outras frações decompostas no valor de alíquotas. No Papiro Rhind apresentam-se tabelas de tais expansões por formas de frações , os cálculos com frações restantes vem com a operação de duplicação.История математики, т. I, 1970, с. 25. Ao determinar a área de uma superfície, o volume de um cubo ou encontrar o lado de uma área em função de sua área, os egípcios enfrentaram os problemas da exponenciação e extração de raiz, embora os nomes destas operações ainda não eram como os conhecemos.

Babilônia

Textos matemáticos cuneiformes babilônicos usaram sistema de numeração sexagesimal, característico dos sumérios,История математики, т. I, 1970, с. 34. e representados em um livro didático que inclui metodologias da multiplicação de números ("tabuadas") contendo números e resultados de valores de 1 a 59, bem como tabelas de números inversos, tábuas de quadrados e cubos de números naturais, cálculos de porcentagens e frações base. Há mais de três centenas de tabuletas com textos, problemas matemáticos e tabelas numéricas.История математики, т. I, 1970, с. 35. A matemática babilônica é caracterizada pelo uso extensivo de tabelas.История математики, т. I, 1970, с. 37—39.Scott, 1958, p. 10.

right|thumb|300px|Tábua de argila babilônica com o cálculo = 1.41421296…

Na Babilônia, apareceu pela primeira vez a numeração posicional consistente. Os primeiros cinquenta e nove números foram registrados com a repetição de personagens e dezenas de unidades necessárias várias vezes. Da mesma forma foram registrados múltiplos de sessenta à esquerda do primeiro conjunto. Mais tarde, este arranjo foi estendido para todo o número do formulário e . Além disso, introduziu-se um sinal babilônio denotando zero quando da grafia do número.История математики, т. I, 1970, с. 36.

Adição e subtração na Babilônia eram as mesmas que aquelas ações em sistema posicional decimal com a diferença de que a transição para o próximo nível era necessária para o sistema de base, e para as unidades e dezenas. Devido à grande base dos babilônios não utilizava-se uma única tabela de multiplicação até 59, que contêm um grande número de elementos, e uma variedade de tabelas de números de 1 a 59 sobre os números 1, 2, 3, … 19, 20, 30, 40, 50 , também chamada de "capital". Na operação de divisão dos babilônios não era, portanto, dada muita atenção para as mesas de desenho de recíprocos, ou seja, números gerados quando dividido-se 60 2, 3, 40 .. No caso de divisão, dando fração infinita, primeiro escrevia-se que há um número inverso, e depois, dado um valor aproximado.

Ao resolver problemas aritméticos os babilônios invocavam proporção e progressão. Eles conheciam a fórmula para a soma dos termos de uma progressão aritmética, as regras para a soma de uma progressão geométrica, resolvendo o problema dos juros.История математики, т. I, 1970, с. 40. Na Babilônia, conhecia-se uma quantidade de trios pitagóricos, mas os métodos que usavam para encontrá-los é desconhecido. Em geral, o problema de encontrar soluções inteiros eracionais da equação refere-se à teoria dos números.История математики, т. I, 1970, с. 50. Problemas geométricos conduziram à necessidade de aproximar a raiz quadrada, utilizando a regra e métodos iterativos para a prossecução da aproximação do resultado.Suponha que você precise encontrar a raiz de ,  — uma primeira aproximação em desvantagem,  — em aproximação por excesso. A segunda abordagem é formada pela fórmula da média aritmética , e corresponde a , etc. ref.: История математики, т. I, 1970, с. 46—47.История математики, т. I, 1970, с. 46—47.

Grécia antiga