A quadratura do círculo é um problema proposto pelos antigos geômetras gregos consistindo em construir um quadrado com a mesma área de um dado círculo servindo-se somente de uma régua não graduada e um compasso em um número finito de etapas.Felix Klein, Lectures on Mathematics, American Mathematical Soc., 1894
Em 1882, Ferdinand Lindemann provou que π é um número transcendente, isto é, não existe um polinômio com coeficientes inteiros ou racionais não todos nulos dos quais π seja uma raiz. Como resultado disso, é impossível exprimir π com um número finito de números inteiros, de frações racionais ou suas raízes.
A transcendência de π estabelece a impossibilidade de se resolver o problema da quadratura do círculo: é impossível construir, somente com uma régua não graduada e um compasso, um quadrado cuja área seja rigorosamente igual à área de um determinado círculo.
História
Antecedentes miniaturadaimagem|Método de aproximação de Ahmes no Papiro de Rhind:
Um círculo com diâmetro 9 em um quadrado de lado 9, que é dividido em nove quadrados menores de lado 3.A área do círculo corresponde aproximadamente à de um octógono (irregular) (7·9) e de forma um pouco mais exata à de um quadrado com lado 8 (64). Já nas civilizações do Antigo Oriente existiam métodos para o cálculo das áreas de círculos. Por exemplo, no Papiro de Rhind (cerca de 1550 a.C.), o diâmetro do círculo é dividido em 9 partes. A sua área exata nestas unidades é . Este valor é então aproximado por um quadrado (a vermelho na imagem) de lado 8, ou seja, por (ver Do Papiro de Rhind). Num segundo método, o círculo é aproximado por um octógono irregular. Para isso, são cortados triângulos iguais nos quatro cantos do quadrado 9×9 no qual o círculo está inscrito, totalizando 18 unidades de área, restando 63. Soluções-modelo deste tipo eram obtidas da prática e destinadas à prática; não havia considerações teóricas mais aprofundadas e, em particular, não se fazia distinção entre a solução exata e a aproximação.
Uma abordagem dedutiva na Matemática, onde as tarefas-modelo são substituídas por teoremas sustentados por provas, desenvolveu-se a partir do século VI a.C. na Grécia. Ela já é visível de forma embrionária em Tales de Mileto, e de forma mais clara na escola do pitagóricos, fundada por Pitágoras de Samos.Árpád Szabó: Wie ist die Mathematik zu einer deduktiven Wissenschaft geworden? In: Jean Christianidis (Ed.): Classics in the History of Greek Mathematics. Boston Studies in the Philosophy of Science, Vol. 240, Springer Science & Business Media, 2013, pp. 68 ff. (ver no Google Livros) Com a descoberta de segmentos incomensuráveis, geralmente atribuída ao pitagórico Hipaso de Metaponto no final do século VI ou início do século V a.C., tornou-se evidente que existem objetos construtíveis (por exemplo, a diagonal de um quadrado) que não podem ser representados como uma proporção de números inteiros. Isto parecia notável, uma vez que os únicos tipos de números conhecidos eram os números inteiros e as razões de números inteiros (no uso atual, os "números racionais"). Assim, quaisquer comprimentos geométricos teriam de ser sempre comensuráveis, ou seja, estariam sempre numa relação de comprimento de números inteiros entre si. Através dessa descoberta, comprimentos que não podiam ser representados aritmeticamente como um "número" no sentido tradicional tornaram-se geometricamente construtíveis (no uso atual, tratam-se de "números irracionais"). Subitamente, a geometria podia representar mais do que a Aritmética conseguia.Wolfgang Tzschoppe: 2.3 Die Zahlengerade füllt sich. In: Struktur der Mathematik - Mathematik der Strukturen. Books on Demand, 2012, pp. 40 ff. (ver no Google Livros)Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: 4.1.1 Ein kurzer historischer Überblick. In: Elementare Analysis: Von der Anschauung zur Theorie. Springer-Verlag, 2010, pp. 107 ff. (ver no Google Livros) Como consequência desta descoberta, a aritmética passou para segundo plano em favor da geometria; as equações tinham agora de ser resolvidas geometricamente, por exemplo através da justaposição de figuras e da conversão de várias figuras em retângulos ou quadrados. Os três problemas clássicos de construção da matemática antiga datam do final do século V a.C.: ao lado da quadratura do círculo, havia a tarefa da Trissecção do ângulo e o problema deliano (ou a duplicação do cubo).
Uma limitação dos meios de construção a régua e compasso não era geralmente exigida. Durante o estudo dos problemas clássicos, foram encontradas desde cedo soluções baseadas em meios mais amplos. Contudo, ao longo do tempo emergiu uma postura que exigia a maior restrição possível. O mais tardar com Papo de Alexandria, esta restrição severa havia se tornado uma regra.Arthur Donald Steele: Über die Rolle von Zirkel und Lineal in der griechischen Mathematik. In: Oskar Becker (Ed.): Zur Geschichte der griechischen Mathematik; Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1965, pp. 146–202
Trabalhos iniciais Como um dos primeiros, de acordo com o escritor grego Plutarco, o filósofo Anaxágoras teria "escrito (ou desenhado, ) a quadratura do círculo na prisão",Helmuth Gericke: 4. Die Quadratur des Kreises; Mathematik in Antike und Orient, Springer-Verlag, 2013, p. 94 (ver no Google Livros) porém, Plutarco não dá mais detalhes sobre a construção de Anaxágoras. Uma estadia de Anaxágoras na prisão pode ser datada de cerca de 430 a.C., quando o filósofo foi acusado de impiedade (asebeia) em Atenas.Paul Deussen: Anaxagoras. Allgemeine Geschichte der Philosophie. Vol. 2. F.A. Brockhaus, Leipzig 1911, pp. 124 ff. (ver no Google Livros)
Fontes mais detalhadas sobre os primórdios da pesquisa são principalmente comentários da Antiguidade Tardia sobre as obras de Aristóteles, textos que, portanto, foram criados com um intervalo de tempo de cerca de 900 anos. Consequentemente, a ordem cronológica e as linhas de raciocínio exatas das abordagens iniciais são incertas. Os trabalhos mais importantes do século V a.C. vêm de Hipócrates de Quios, Antifonte, Bríson de Heracleia e Hípias de Elis.Albin Lesky: Die Aufklärung und ihre Gegner: Die Fachwissenschaften. Geschichte der griechischen Literatur. Walter de Gruyter, 2015, p. 545 (ver no Google Livros) miniaturadaimagem|As "Lúnulas de Hipócrates": A área da "lúnula" cinzenta corresponde à do triângulo retângulo ABC. A transformação de triângulos em retângulos, de retângulos em quadrados (Quadratura do retângulo) ou a adição de dois quadrados (Teorema de Pitágoras) já podiam ser tratadas de forma elementar com os teoremas geométricos conhecidos na época. Por volta de 440 a.C., Hipócrates de Quios foi capaz de dar um exemplo de uma área delimitada por linhas curvas que podia ser transformada exatamente em um quadrado. Partindo do teorema, que ele ainda utilizava como um axioma, de que as áreas de segmentos circulares semelhantes se relacionam como os quadrados das suas cordas, Hipócrates conseguiu quadrar as áreas limitadas por arcos circulares, as chamadas "Lúnulas de Hipócrates".Oskar Becker: 3. Lunulae Hippocratis; Das mathematische Denken der Antike. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1966, p. 58 (ver no Google Livros) Contudo, a quadratura do círculo não pode ser alcançada desta maneira, uma vez que apenas certas lúnulas – por exemplo, as que estão sobre o lado de um quadrado, mas não as sobre o lado de um hexágono regular – são quadratíveis.
O fato de que triângulos (e, portanto, polígonos arbitrários) podiam ser transformados num quadrado foi uma segunda abordagem para construir um polígono com uma área igual à do círculo. Antifonte teve a ideia de aproximar o círculo através da inscrição de polígonos. Bríson de Heracleia refinou este procedimento ao aproximar o círculo adicionalmente por meio de polígonos circunscritos e formando um valor intermediário.Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: Möndchenquadratur des Hippokrates. 5000 Jahre Geometrie: Geschichte Kulturen Menschen. Springer-Verlag, 2013, p. 48 (ver no Google Livros)
Por volta de 425 a.C., Hípias de Elis desenvolveu uma curva para resolver a trissecção do ângulo, que era gerada mecanicamente pela sobreposição de um movimento circular com um linear. Pouco mais de cem anos depois, Dinóstrato descobriu que com a ajuda desta curva, a chamada Quadratriz de Hípias, pode ser construído o segmento de comprimento – e com isso, com a ajuda de outras construções elementares, um quadrado de área . No entanto, uma vez que a própria quadratriz é uma curva dita transcendente (ver Prova da impossibilidade), ou seja, não pode ser gerada com régua e compasso, a solução no sentido estrito não foi alcançada com isso.James Gow: A Short History of Greek Mathematics, Franco von Lüttich. 1884, Reimpressão: Cambridge University Press, 2010, pp. 162–164 (ver no Google Livros)Jean-Paul Delahaye: Geschichte der Zahl zur Zeit der Geometrie; — Die Story: Aus dem Französischen von Manfred Stern. Springer-Verlag, 2013, pp. 71 ff. (ver no Google Livros)
Arquimedes miniaturadaimagem|Quadratura do círculo utilizando a espiral: Seja A o ponto da espiral à volta da origem O que atinge após a primeira revolução. A tangente à espiral neste ponto interseta a perpendicular a OA em B. De acordo com Arquimedes, o comprimento de BO é igual à circunferência do círculo com o raio OA, por isso a área do círculo vermelho é igual à área do triângulo azul. Um tratado pormenorizado intitulado Sobre a Medida do Círculo sobreviveu de Arquimedes. Neste trabalho, Arquimedes provou três teoremas fundamentais:
A área de um círculo é igual à área de um triângulo retângulo onde o raio do círculo é um cateto e a circunferência do círculo é o outro cateto. Portanto, a área do círculo pode ser calculada como ½ · raio · circunferência. A área de um círculo é proporcional ao quadrado do seu diâmetro, num rácio próximo de . A circunferência de um círculo é maior que e menor que do diâmetro.
Com o primeiro teorema, o problema da quadratura do círculo foi reduzido à questão da construtibilidade da circunferência de um círculo a partir do raio dado e, consequentemente, à construtibilidade de . No terceiro teorema, Arquimedes apresentou de imediato uma aproximação para esse número, tão simples quanto exata, nomeadamente , um valor (≈ 3,143) que ainda é utilizado atualmente para fins práticos. O segundo teorema é um Corolário simples dos outros dois; que a área de um círculo é proporcional ao quadrado de seu diâmetro já era conhecido por Euclides. Arquimedes forneceu o valor da constante de proporcionalidade aqui.
Para provar as suas afirmações, Arquimedes utilizou a ideia de Bríson de Heracleia, com a qual se obtém uma aproximação arbitrária do círculo através da inscrição e circunscrição de polígonos regulares. Partindo do hexágono inscrito e do triângulo circunscrito, Arquimedes chegou sucessivamente ao polígono de 96 lados, duplicando o número de lados. Uma estimativa inteligente das raízes quadradas que surgem nas etapas individuais do cálculo resultou nos limites mencionados no Teorema 3.F. Rudio: III. Der Umfang eines jeden Kreises ist dreimal so groß wie der Durchmesser und noch um etwas größer, … Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. 1892, pp. 75 ff. (ver no Archive.org)Eugen Beutel: Archimedes Die Quadratur des Kreises. 1920, 2ª Edição. Teubner, Leipzig 1920. pp. 14 ff.; umich.edu (PDF)