miniaturadaimagem|Diagrama comutativo. Na notação acima, 1 é o morfismo de identidade de M, I é o elemento unitário e α, λ e ρ representam a associatividade Em álgebra abstrata, um monoide é uma estrutura algébrica com uma única operação binária, associativa e com um elemento neutro.Monoid, no site C++ Boost
Monoides ocorrem em alguns ramos da matemática. Em geometria, um monoide captura a ideia de composição de função. Essa noção é abstraída da teoria das categorias, no qual o monoide é uma categoria com um objeto. Os monoides são usados comumente para fornecer fundações algébricas à ciência da computação. Nesse caso, alguns tipos de monoides são usados para descrever uma máquina de estado finito.
Definição formal
Um monoide pode ser definido de três maneiras completamente equivalentes. Sendo uma operação qualquer:
é um conjunto G dotado de uma operação binária para a qual valem as seguintes propriedades: fechamento: dado o elemento resultante da composição de e pertence a (); associatividade: para todos vale ; existência do elemento neutro: existe um único tal que para todo vale . é um magma dotado das propriedades: associativa (associatividade) para todos vale ; existência de um elemento neutro tal que existe um único tal que para todo vale . é um semigrupo dotado da existência de um elemento neutro : existe um único tal que para todo vale .
Um monoide para o qual todo elemento possui elemento inverso é um grupo.
Um monoide é puro quando o único elemento que possui inverso é a identidade.
Propriedades Em um monoide, se um elemento tem um inverso, então o inverso é único.Invertible Elements, Pure Monoids, no site do Departmento of Mathematics da Carnegie Mellon University O conjunto dos elementos inversíveis de um monoide M, Inv M, é um grupo.
Ver também
Álgebra de Kleene Problema da altura da estrela
Categoria:Estruturas algébricas