miniatura|400px|A aplicação de Gauss disponibiliza uma função para todo ponto numa curva ou superfície a um ponto correspondente na esfera unitária.
Em geometria diferencial, a aplicação de Gauss (também grafado aplicação de Gauß), mapa de Gauss, mapa gaussiano ou aplicação gaussiana (nomeado devido a Carl Friedrich Gauss) relaciona uma superfície no espaço euclidiano para a esfera unitária . Dada uma superfície em , a aplicação de Gauss é uma aplicação contínua tal que é um vetor ortogonal a X em p.
A aplicação de Gauss pode ser definida globalmente se e somente se a superfície é orientável, no caso em que seu grau é metade da respectiva característica de Euler. A aplicação de Gauss pode ser sempre definida localmente. O determinante Jacobiano da aplicação de Gauss é igual à curvatura de Gauss.
Gauss foi o primeiro a escrever algo sobre o tópico em 1825, publicando-o em 1827.
Generalizações
miniatura|Gauss em 1827.
A aplicação de Gauss pode ser definida para hipersuperfícies em como uma função de uma hipersuperfície na esfera unitária
Para uma k-subvariedade orientada geral de a aplicação de Gauss também pode ser definida, e sua imagem é o Grassmaniano orientado , ou seja, o conjunto de todos osk-planos orientados em . Nesse caso, um ponto da subvariedade é relacionado a um subespeço orientado tangente. Ou seja, a partir do complemento ortogonal. No espaço euclidiano tridimensional, isso nos fornece que um 2-plano orientado é caracterizado por uma 1-linha orientada, equivalente a um vetor normal unitário (como ), consistente com a definição dada acima.
A noção de aplicação de Gauss pode ser generalizada para a subvariedade orientada X de dimensão k nnuma Variedade de Riemann M de dimensão n. Nesse caso, a aplicação de Gauss vai de X para o conjunto de k-planos tangentes de um fibrado tangente TM. O conjunto imagem dessa aplicação N é um fibrado de Grassmann construído no fibrado tangente TM. Nesse caso, onde , o fibrado tangente pode ser trivializado (e o fibrado de Grassman se torna uma função com imagem sendo o Grassmanniano).
Curvatura total A área da imagem da aplicação de Gauss é chamada curvatura total''' e é equivalente à integral de superfície da curvatura gaussiana. Esta é a interpretação original dada por Gauss. O Teorema de Gauss–Bonnet relaciona a curvatura total da superfície às suas propriedades topológicas.
Gauss, K. F., Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827, em Latim) Gauss, K. F., General investigations of curved surfaces, English translation. Hewlett, New York: Raven Press (1965). Banchoff, T., Gaffney T., McCrory C., Cusps of the Gauss Map, (1982) Research Notes in Mathematics 55, Pitman, London. Dreibelbis: Dan's Web Page Koenderink, J. J., Solid Shape'', MIT Press (1990)
Ligações externas
Categoria:Geometria diferencial Categoria:Superfícies Categoria:Geometria riemanniana Categoria:Topologia diferencial Categoria:Curvas Categoria:Tensores Categoria:Carl Friedrich Gauß