direita|miniaturadaimagem|252x252px| Uma imagem do interior de uma variedade tridimensional gerado pelo programa CurvedSpaces de Jeff Weeks. Todos os cubos na imagem são o mesmo cubo, já que a luz na variedade envolve em circuitos fechados. O efeito de ladrilhos ocorre no cubo em todo o espaço. Esse espaço tem volume finito e não tem fronteira.
Em matemática, uma 3-variedade é um espaço topológico que localmente se assemelha a um espaço euclidiano tridimensional. Uma 3-variedade pode ser vista como uma possível forma do universo. Assim como uma esfera se assemelha a um plano (um plano tangente) para um observador pequeno e próximo o suficiente, todas as 3-variedades se assemelham ao nosso universo para um observador pequeno o suficiente. Isso é detalhado na definição abaixo.
Princípios
Definição Um espaço topológico é uma 3-variedade se for um espaço de Hausdorff segundo-enumerável e se cada ponto em tiver uma vizinhança que seja homeomorfa ao espaço euclidiano tridimensional.
Teoria matemática das 3-variedades As categorias topológica, linear por partes e suave são todas equivalentes em três dimensões, de modo que pouca distinção é feita se estamos a lidar, digamos, com 3-variedades topológicas ou 3-variedades suaves.
Os fenômenos em três dimensões podem ser surpreendentemente diferentes dos fenômenos noutras dimensões e, portanto, há uma prevalência de técnicas muito especializadas que não se generalizam para dimensões maiores que três. Esse papel especial levou à descoberta de conexões estreitas com uma diversidade de outros campos, como a teoria dos nós, a teoria geométrica de grupos, a geometria hiperbólica, a teoria dos números, a teoria de Teichmüller, a teoria quântica de campos topológica, a teoria de gauge, a homologia de Floer e as equações diferenciais parciais. A teoria das 3-variedades é considerada uma parte da topologia de baixa dimensão ou da topologia geométrica.
Uma ideia-chave na teoria é estudar uma 3-variedade considerando superfícies especiais mergulhadas nela. Pode-se escolher que a superfície seja bem posicionada na 3-variedade, o que leva à ideia de uma superfície incompressível e à teoria das variedades de Haken, ou pode-se escolher que as peças complementares sejam as mais agradáveis possíveis, levando a estruturas como as divisões de Heegaard, que são úteis mesmo no caso não-Haken.
As contribuições de William Thurston para a teoria permitem também considerar, em muitos casos, a estrutura adicional dada por uma geometria modelo particular de Thurston (das quais existem oito). A geometria mais prevalente é a geometria hiperbólica. O uso de uma geometria em adição a superfícies especiais costuma ser frutífero.
Os grupos fundamentais das 3-variedades refletem fortemente a informação geométrica e topológica pertencente a uma 3-variedade. Assim, existe uma interação entre a teoria dos grupos e os métodos topológicos.
Invariantes que descrevem as 3-variedades As 3-variedades são um caso especial interessante da topologia de baixa dimensão porque os seus invariantes topológicos dão muita informação sobre a sua estrutura em geral. Se considerarmos como uma 3-variedade e como o seu grupo fundamental, então muita informação pode ser derivada deles. Por exemplo, usando a dualidade de Poincaré e o teorema de Hurewicz, temos os seguintes grupos de homologia: onde os dois últimos grupos são isomorfos à homologia e coomologia de grupos de , respetivamente; isto é,A partir desta informação, pode ser encontrada uma classificação básica da teoria de homotopia das 3-variedades. Note que da torre de Postnikov existe um mapa canônicoSe tomarmos o pushforward da classe fundamental em , obteremos um elemento . Verifica-se que o grupo , juntamente com a classe de homologia do grupo , fornece uma descrição algébrica completa do tipo de homotopia de .
Somas conexas Uma operação topológica importante é a soma conexa de duas 3-variedades . De facto, a partir de teoremas gerais na topologia, verificamos que para uma 3-variedade com uma decomposição em soma conexa , os invariantes acima para podem ser calculados a partir dos . Em particular,Além disso, uma 3-variedade que não pode ser descrita como uma soma conexa de duas 3-variedades é chamada de prima.
Segundos grupos de homotopia Para o caso de uma 3-variedade dada por uma soma conexa de 3-variedades primas, verifica-se que existe uma bela descrição do segundo grupo fundamental como um -módulo. Para o caso especial em que cada é infinito, mas não cíclico, se tomarmos mergulhos baseados de uma 2-esfera onde então o segundo grupo fundamental tem a apresentaçãofornecendo um cálculo direto deste grupo.
Exemplos importantes de 3-variedades
Espaço euclidiano 3D
O espaço euclidiano 3D é o exemplo mais importante de uma 3-variedade, pois todos os outros são definidos em relação a ele. Este é apenas o espaço vetorial tridimensional padrão sobre os números reais.
3-esfera
right|frame|Projeção estereográfica dos paralelos da hiperesfera (vermelho), meridianos (azul) e hipermeridianos (verde). Como esta projeção é conforme, as curvas interceptam-se umas às outras ortogonalmente (nos pontos amarelos) tal como em 4D. Todas as curvas são círculos: as curvas que interceptam <0,0,0,1> têm raio infinito (= linha reta).
Uma 3-esfera é um análogo de dimensão superior de uma esfera. Ela consiste no conjunto de pontos equidistantes de um ponto central fixo no espaço euclidiano de 4 dimensões. Assim como uma esfera comum (ou 2-esfera) é uma superfície bidimensional que forma a fronteira de uma bola em três dimensões, uma 3-esfera é um objeto com três dimensões que forma a fronteira de uma bola em quatro dimensões. Muitos exemplos de 3-variedades podem ser construídos tomando quocientes da 3-esfera por um grupo finito atuando livremente em através de um mapa , de modo que .
Espaço projetivo real 3D
O espaço projetivo real 3D, ou RP3, é o espaço topológico de retas que passam pela origem 0 em R4. É uma variedade suave compacta de dimensão 3, e é um caso especial Gr(1, R4) de um espaço Grassmanniano.
RP3 é (difeomorfo a) SO(3), portanto, admite uma estrutura de grupo; o mapa de recobrimento S3 → RP3 é um mapa de grupos Spin(3) → SO(3), onde Spin(3) é um grupo de Lie que é o recobrimento universal de SO(3).
3-toro
O toro tridimensional é o produto de 3 círculos. Isto é:
O 3-toro, T3, pode ser descrito como um quociente de R3 sob deslocamentos inteiros em qualquer coordenada. Isto é, o 3-toro é R3 módulo a ação do reticulado de inteiros Z3 (sendo a ação tomada como adição de vetores). De forma equivalente, o 3-toro é obtido a partir do cubo tridimensional colando as faces opostas.
Um 3-toro, neste sentido, é um exemplo de uma variedade compacta tridimensional. É também um exemplo de um grupo de Lie abeliano compacto. Isto decorre do facto de que o círculo unitário é um grupo de Lie abeliano compacto (quando identificado com os números complexos unitários com multiplicação). A multiplicação de grupo no toro é então definida por multiplicação coordenada a coordenada.
Espaço hiperbólico 3D
thumb|Uma projeção em perspetiva de uma tesselação dodecaédrica em H3.Quatro dodecaedros encontram-se em cada aresta, e oito encontram-se em cada vértice, como os cubos de uma tesselação cúbica em E3
O espaço hiperbólico é um espaço homogêneo que pode ser caracterizado por uma curvatura negativa constante. É o modelo da geometria hiperbólica. Distingue-se dos espaços euclidianos com curvatura zero que definem a geometria euclidiana, e dos modelos de geometria elíptica (como a 3-esfera) que têm uma curvatura positiva constante. Quando mergulhado num espaço euclidiano (de uma dimensão superior), todos os pontos de um espaço hiperbólico são um ponto de sela. Outra propriedade distintiva é a quantidade de espaço coberta pela 3-bola no espaço hiperbólico 3D: ela aumenta exponencialmente em relação ao raio da bola, em vez de polinomialmente.
Espaço dodecaédrico de Poincaré
A esfera de homologia de Poincaré (também conhecida como espaço dodecaédrico de Poincaré) é um exemplo particular de uma esfera de homologia. Sendo uma 3-variedade esférica, é a única 3-esfera de homologia (além da própria 3-esfera) com um grupo fundamental finito. O seu grupo fundamental é conhecido como o grupo icosaédrico binário e tem ordem 120. Isto mostra que a conjectura de Poincaré não pode ser formulada apenas em termos de homologia.
Em 2003, a falta de estrutura nas maiores escalas (acima de 60 graus) na radiação cósmica de fundo em micro-ondas, conforme observado durante um ano pela sonda espacial WMAP, levou à sugestão, por Jean-Pierre Luminet do Observatório de Paris e colegas, de que a forma do universo é uma esfera de Poincaré."Is the universe a dodecahedron?", artigo no PhysicsWorld. Em 2008, astrônomos encontraram a melhor orientação no céu para o modelo e confirmaram algumas das previsões do mesmo, usando três anos de observações da sonda WMAP. Contudo, ainda não há um forte suporte para a correção do modelo.
Espaço de Seifert-Weber
Na matemática, o espaço de Seifert-Weber (introduzido por Herbert Seifert e Constantin Weber) é uma 3-variedade hiperbólica fechada. Também é conhecido como espaço dodecaédrico de Seifert-Weber e espaço dodecaédrico hiperbólico. É um dos primeiros exemplos descobertos de 3-variedades hiperbólicas fechadas.
É construído colando cada face de um dodecaedro à sua oposta de forma a produzir uma 3-variedade fechada. Existem três maneiras de fazer essa colagem consistentemente. As faces opostas estão desalinhadas por 1/10 de uma volta, então, para combiná-las, elas devem ser giradas por 1/10, 3/10 ou 5/10 de uma volta; uma rotação de 3/10 fornece o espaço de Seifert-Weber. Uma rotação de 1/10 fornece a esfera de homologia de Poincaré e uma rotação de 5/10 fornece o espaço projetivo real tridimensional.
Com o padrão de colagem de 3/10 de volta, as arestas do dodecaedro original são coladas umas às outras em grupos de cinco. Assim, no espaço de Seifert-Weber, cada aresta é rodeada por cinco faces pentagonais, e o ângulo diedro entre esses pentágonos é de 72°. Isto não corresponde ao ângulo diedro de 117° de um dodecaedro regular no espaço euclidiano, mas no espaço hiperbólico existem dodecaedros regulares com qualquer ângulo diedro entre 60° e 117°, e o dodecaedro hiperbólico com ângulo diedro de 72° pode ser usado para dar ao espaço de Seifert-Weber uma estrutura geométrica como uma variedade hiperbólica. É um espaço quociente do favo de mel dodecaédrico de ordem 5, uma tesselação regular do espaço hiperbólico 3D por dodecaedros com este ângulo diedro.
Variedade de Gieseking
Na matemática, a variedade de Gieseking é uma 3-variedade hiperbólica com cúspides de volume finito. É não-orientável e tem o menor volume entre as variedades hiperbólicas não-compactas, com um volume de aproximadamente 1,01494161. Foi descoberta por .
A variedade de Gieseking pode ser construída removendo os vértices de um tetraedro e, em seguida, colando as faces aos pares usando mapas afim-lineares. Rotule os vértices como 0, 1, 2, 3. Cole a face com os vértices 0,1,2 à face com os vértices 3,1,0 nessa ordem. Cole a face 0,2,3 à face 3,2,1 nessa ordem. Na estrutura hiperbólica da variedade de Gieseking, este tetraedro ideal é a decomposição poliédrica canônica de David B. A. Epstein e Robert C. Penner. Além disso, o ângulo formado pelas faces é . A triangulação possui um tetraedro, duas faces, uma aresta e nenhum vértice, portanto todas as arestas do tetraedro original são coladas umas às outras.
Algumas classes importantes de 3-variedades
Variedade grafo Variedade de Haken Esferas de homologia 3-variedade hiperbólica Fibrados em I Complementos de nós e enlaces Espaço lenticular Espaços fibrados de Seifert, fibrados de círculos 3-variedade esférica Fibrados de superfícies sobre o círculo Fibrado de toros
Complementos de enlaces hiperbólicos thumb|Os Anéis borromeanos são um enlace hiperbólico.