miniaturadaimagem|Um mecanismo impresso em 3D que consiste em três anéis ligados com dentes de engrenagem Em matemática, um espaço topológico é, em termos gerais, um espaço geométrico no qual a proximidade é definida, mas não pode necessariamente ser medida por uma distância numérica. Mais especificamente, um espaço topológico é um conjunto cujos elementos são chamados de pontos, juntamente com uma estrutura adicional chamada topologia, que pode ser definida como um conjunto de vizinhanças para cada ponto que satisfaz alguns axiomas formalizando o conceito de proximidade. Existem várias definições equivalentes de uma topologia, sendo a mais comumente usada a definição através de conjuntos abertos.
Um espaço topológico é o tipo mais geral de espaço matemático que permite a definição de limites, continuidade e conexidade. Tipos comuns de espaços topológicos incluem espaços euclidianos, espaços métricos e variedades.
Embora muito geral, o conceito de espaços topológicos é fundamental e utilizado em praticamente todos os ramos da matemática moderna. O estudo dos espaços topológicos por si só é chamado de topologia geral (ou topologia de conjuntos de pontos).
História
Por volta de 1735, Leonhard Euler descobriu a fórmula relacionando o número de vértices arestas e faces de um poliedro convexo, e consequentemente de um grafo planar. O estudo e a generalização dessa fórmula, especificamente por Cauchy (1789–1857) e L'Huilier (1750–1840), impulsionaram o estudo da topologia. Em 1827, Carl Friedrich Gauss publicou Investigações gerais de superfícies curvas, cuja seção 3 define a superfície curva de maneira semelhante ao entendimento topológico moderno.
Ainda assim, "até o trabalho de Riemann no início da década de 1850, as superfícies eram sempre tratadas de um ponto de vista local (como superfícies paramétricas) e questões topológicas nunca eram consideradas". "Möbius e Jordan parecem ser os primeiros a perceber que o problema principal sobre a topologia das superfícies (compactas) é encontrar invariantes (preferencialmente numéricos) para decidir a equivalência das superfícies, isto é, para decidir se duas superfícies são homeomorfas ou não."
O assunto foi claramente definido por Felix Klein em seu "Programa de Erlangen" (1872): as invariantes geométricas de transformações contínuas arbitrárias, uma espécie de geometria. O termo "topologia" foi introduzido por Johann Benedict Listing em 1847, embora ele já tivesse usado o termo em correspondências alguns anos antes, em vez do anteriormente usado "Analysis situs". A fundação desta ciência, para um espaço de qualquer dimensão, foi criada por Henri Poincaré. Seu primeiro artigo sobre este tópico apareceu em 1894.J. Stillwell, Mathematics and its history Na década de 1930, James Waddell Alexander II e Hassler Whitney expressaram pela primeira vez a ideia de que uma superfície é um espaço topológico que é localmente como um plano euclidiano.
Os espaços topológicos foram definidos pela primeira vez por Felix Hausdorff em 1914 em sua obra seminal "Princípios da Teoria dos Conjuntos". Espaços métricos haviam sido definidos anteriormente, em 1906, por Maurice Fréchet, embora tenha sido Hausdorff quem popularizou o termo "espaço métrico" ().
Definições
A utilidade do conceito de topologia é demonstrada pelo fato de existirem várias definições equivalentes dessa estrutura matemática. Assim, escolhe-se a axiomatização mais adequada para a aplicação. A mais comumente usada é a formulada em termos de conjuntos abertos, mas talvez mais intuitiva seja a formulada em termos de vizinhanças, motivo pelo qual esta é apresentada primeiro.
Definição via vizinhanças
Esta axiomatização é devida a Felix Hausdorff. Seja um conjunto (possivelmente vazio). Os elementos de são geralmente chamados de pontos, embora possam ser qualquer objeto matemático. Seja uma função que atribui a cada (ponto) em uma coleção não vazia de subconjuntos de . Os elementos de serão chamados de vizinhanças de em relação a (ou, simplesmente, vizinhanças de ). A função é chamada de topologia de vizinhanças se os axiomas abaixo forem satisfeitos; e então com é chamado de espaço topológico.
Se é uma vizinhança de (isto é, ), então Em outras palavras, cada ponto do conjunto pertence a todas as suas vizinhanças em relação a Se é um subconjunto de e inclui uma vizinhança de então é uma vizinhança de Ou seja, todo superconjunto de uma vizinhança de um ponto é também uma vizinhança de A interseção de duas vizinhanças de é uma vizinhança de Qualquer vizinhança de inclui uma vizinhança de tal que é uma vizinhança de cada ponto de
Os três primeiros axiomas para vizinhanças têm um significado claro. O quarto axioma tem um uso muito importante na estrutura da teoria, que é o de ligar as vizinhanças de diferentes pontos de
Um exemplo padrão de tal sistema de vizinhanças ocorre na reta real onde um subconjunto de é definido como uma vizinhança de um número real se incluir um intervalo aberto contendo
Dada essa estrutura, um subconjunto de é definido como aberto se for uma vizinhança de todos os pontos em Os conjuntos abertos então satisfazem os axiomas dados abaixo na próxima definição de um espaço topológico. Por outro lado, quando os conjuntos abertos de um espaço topológico são dados, as vizinhanças que satisfazem os axiomas acima podem ser recuperadas definindo como uma vizinhança de se incluir um conjunto aberto tal que
Definição via conjuntos abertos
Uma topologia sobre um conjunto pode ser definida como uma coleção de subconjuntos de , chamados de conjuntos abertos e que satisfazem os seguintes axiomas:
O conjunto vazio e o próprio pertencem a Qualquer união arbitrária (finita ou infinita) de membros de pertence a A interseção de qualquer número finito de membros de pertence a
Como esta definição de topologia é a mais comumente usada, o conjunto dos conjuntos abertos é comumente chamado de topologia sobre
Diz-se que um subconjunto é fechado em se o seu complemento for um conjunto aberto. Note que a partir dessa definição, segue-se que o conjunto vazio e são simultaneamente abertos e fechados – isto é, os dois conjuntos são complementos um do outro, enquanto cada um deles é, em si mesmo, aberto. Em geral, qualquer subconjunto de com esta propriedade é dito ser clopen (aberto e fechado).
Exemplos de topologias
frame|right|Seja denotada pelos círculos; aqui estão quatro exemplos e dois não exemplos de topologias no conjunto de três pontos O exemplo inferior esquerdo não é uma topologia porque a união de e [isto é, ] está faltando; o exemplo inferior direito não é uma topologia porque a interseção de e [isto é, ], está faltando.
Dado a topologia trivial ou indiscreta em é a família que consiste apenas nos dois subconjuntos de exigidos pelos axiomas. Dado a família de seis subconjuntos de forma outra topologia sobre Dado a topologia discreta sobre é o conjunto das partes de que é a família consistindo em todos os subconjuntos possíveis de Neste caso, o espaço topológico é chamado de espaço discreto. Dado o conjunto dos inteiros, a família de todos os subconjuntos finitos dos inteiros mais o próprio não é uma topologia porque (por exemplo) a união de todos os conjuntos finitos que não contêm o zero não é finita e, portanto, não é um membro da família de conjuntos finitos. A união de todos os conjuntos finitos que não contêm o zero também não é todo o conjunto e por isso não pode estar em
Definição via conjuntos fechados Usando as Leis de De Morgan, os axiomas acima que definem conjuntos abertos tornam-se axiomas que definem conjuntos fechados:
O conjunto vazio e X são fechados. A interseção de qualquer coleção de conjuntos fechados também é fechada. A união de qualquer número finito de conjuntos fechados também é fechada.
Usando esses axiomas, outra maneira de definir um espaço topológico é como um conjunto X juntamente com uma coleção τ de subconjuntos fechados de X. Assim, os conjuntos na topologia τ são os conjuntos fechados, e seus complementos em X são os conjuntos abertos.
Outras definições Existem muitas outras maneiras equivalentes de definir um espaço topológico: em outras palavras, os conceitos de vizinhança, ou o de conjuntos abertos ou fechados, podem ser reconstruídos a partir de outros pontos de partida e satisfazer os axiomas corretos.
Outra maneira de definir um espaço topológico é usando os Axiomas de fechamento de Kuratowski, que definem os conjuntos fechados como os pontos fixos de um operador sobre o conjunto das partes de X.
Uma rede é uma generalização do conceito de sequência. Uma topologia é completamente determinada se, para toda rede em X, o conjunto de seus pontos de acumulação for especificado.
Comparação de topologias Muitas topologias podem ser definidas em um conjunto para formar um espaço topológico. Quando cada conjunto aberto de uma topologia τ1 também é aberto para uma topologia τ2, diz-se que τ2 é mais fina que τ1, e τ1 é mais grossa que τ2. Uma demonstração que se baseia apenas na existência de certos conjuntos abertos também será válida para qualquer topologia mais fina e, da mesma forma, uma demonstração que se baseia apenas em certos conjuntos não serem abertos aplica-se a qualquer topologia mais grossa. Os termos maior e menor são às vezes usados no lugar de mais fina e mais grossa, respectivamente. Os termos mais forte e mais fraca também são usados na literatura, mas com pouco acordo sobre o significado, de modo que se deve sempre verificar a convenção adotada pelo autor durante a leitura.
A coleção de todas as topologias sobre um determinado conjunto fixo X forma um reticulado completo: se F = {τα : α ∈ A} é uma coleção de topologias em X, então o ínfimo de F é a interseção de F, e o supremo de F é o ínfimo da coleção de todas as topologias em X que contêm todos os membros de F.
Funções contínuas
Uma função f : X → Y entre espaços topológicos é chamada de contínua se, para todo x ∈ X e toda vizinhança N de f(x), existe uma vizinhança M de x tal que f(M) ⊆ N. Isso se relaciona facilmente com a definição usual na análise matemática. Equivalentemente, f é contínua se a imagem inversa (ou pré-imagem) de cada conjunto aberto é aberta. Esta é uma tentativa de capturar a intuição de que não há "saltos" ou "separações" na função. Um homeomorfismo é uma bijeção que é contínua e cuja inversa também é contínua. Dois espaços são chamados de homeomorfos se existir um homeomorfismo entre eles. Do ponto de vista da topologia, espaços homeomorfos são essencialmente idênticos.
Na teoria das categorias, uma das categorias fundamentais é a Top, que denota a categoria dos espaços topológicos, cujos objetos são espaços topológicos e cujos morfismos são funções contínuas. A tentativa de classificar os objetos desta categoria (a menos de homeomorfismo) através de invariantes tem motivado áreas de pesquisa, tais como a teoria da homotopia, a teoria da homologia e a teoria K.
Exemplos de espaços topológicos
Um determinado conjunto pode ter muitas topologias diferentes. Se a um conjunto for dada uma topologia diferente, ele é visto como um espaço topológico diferente. Qualquer conjunto pode receber a topologia discreta na qual todo subconjunto é aberto. As únicas sequências ou redes convergentes nesta topologia são aquelas que eventualmente se tornam constantes. Além disso, qualquer conjunto pode receber a topologia trivial (também chamada de topologia indiscreta), na qual apenas o conjunto vazio e o espaço inteiro são abertos. Toda sequência e rede nesta topologia converge para todos os pontos do espaço. Este exemplo mostra que, em espaços topológicos gerais, os limites de sequências não precisam ser únicos. No entanto, frequentemente exige-se que os espaços topológicos sejam espaços de Hausdorff, onde os pontos limite são únicos.