Em matemática, especificamente em análise estocástica, uma difusão de Itō é uma solução para um tipo específico de equação diferencial estocástica. Esta equação é semelhante à equação de Langevin usada em física para descrever o movimento browniano de uma partícula sujeita a um potencial em um fluido viscoso. As difusões de Itō recebem este nome em homenagem ao matemático japonês Kiyoshi Itō.
Visão geral miniaturadaimagem|250x250px|Este processo de Wiener (movimento browniano) em um espaço tridimensional (com um caminho amostral exibido) é um exemplo de difusão de Itō. Uma difusão de Itō homogênea em tempo em um espaço euclidiano de dimensões é um processo definido em um espaço de probabilidade e que satisfaz uma equação diferencial estocástica da forma:em que é um movimento browniano de dimensões e e satisfazem a condição de continuidade de Lipschitz usual:para alguma constante e todo . Esta condição garante a existência de uma única solução forte à equação diferencial estocástica dada acima. O campo vetorial é conhecido como coeficiente de deriva de . O campo tensorial é conhecido como o coeficiente de difusão de . É importante notar que e não dependem do tempo. Se dependessem do tempo, seria apenas considerado um processo de Itō, não uma difusão. Difusões de Itō têm uma série de propriedades importantes, que incluem: a continuidade amostral e a continuidade de Feller; a propriedade de Markov; a propriedade forte de Markov; a existência de um gerador infinitesimal; a existência de um operador característico; a fórmula de Dynkin. Em particular, uma difusão de Itō é um processo contínuo e fortemente markoviano de tal modo que o domínio de seu operador característico inclui todas as funções dupla e continuamente diferenciáveis, sendo uma difusão no sentido definido pelo matemático soviético-americano Eugene Dynkin.
Continuidade Continuidade amostral Um difusão de Itō é um processo contínuo amostral, isto é, para quase todas as realizações do ruído, é uma função contínua do parâmetro de tempo . Mais precisamente, há uma "versão contínua" de , um processo contínuo tal que:Isto se segue da existência padrão e da teoria da unicidade para soluções fortes de equações diferenciais estocásticas.
Continuidade de Feller Além de ser contínua e amostral, uma difusão de Itō satisfaz o requisito mais forte da continuidade de Feller.
Para um ponto , considere que P denota a lei de , sendo o dado inicial , e considere que denota o valor esperado em relação a P.
Considere que é uma função mensurável de Borel limitada abaixo e defina, para fixo, por: Semicontinuidade inferior: se for semicontínua inferior, então, é semicontínua inferior. Continuidade de Feller: se for limitada e contínua, então, é contínua. O comportamento da função acima quando o tempo é variado foi abordado pela equação regressiva de Kolmogorov, pela equação de Fokker–Planck, entre outras.
Propriedade de Markov Propriedade de Markov Uma difusão de Itō tem a importante propriedade de ser markoviana: o futuro comportamento de , dado o que aconteceu até o tempo , é o mesmo como se o processo tivesse sido iniciado na posição no tempo 0. A formulação matemática precisa desta afirmação exige alguma notação adicional.
Considere que denota a filtração natural de gerada pela movimento browniano . Para ,É fácil mostrar que é adaptada a (isto é, que cada é -mensurável), de modo que a filtração natural de gerada por tem para cada .
Considere que é uma função limitada e mensurável de Borel. Então, para todo e , o valor esperado condicional condicionado na σ-álgebra e o valor esperado do processo "reiniciado" a partir de satisfazem a propriedade de Markov:De fato, é também um processo de Markov no que se refere à filtração , como mostra o que segue:
Propriedade forte de Markov A propriedade forte de Markov é uma generalização da propriedade de Markov acima em que é substituído por um tempo aleatório adequado conhecido como tempo de parada. Então, por exemplo, em vez de "reiniciar" o processo no tempo , pode-se "reiniciar" quando quer que alcance pela primeira vez algum ponto especificado de .
Como antes, considere uma função limitada e mensurável de Borel. Considere um tempo de parada no que se refere à filtração com quase certamente. Então, para todo ,
Gerador Definição Associado a cada difusão de Itō, há um operador diferencial parcial de segunda ordem conhecido como o gerador de difusão. O gerador é muito útil em muitas aplicações e codifica uma grande quantidade de informação sobre o processo . Formalmente, o gerador infinitesimal de uma difusão de Itō é o operador , que é definido como agindo em funções adequadas por:O conjunto de todas as funções para as quais este limite existe em um ponto é denotado como , enquanto denota o conjunto de todas as para as quaIS o limite existe para todo . Pode-se mostrar que qualquer função compactamente suportada (duplamente diferenciável com segunda derivada contínua) repousa em e que:ou, em termos de gradiente, escalar e produto interno de Frobenius,
Exemplo O gerador para o movimento browniano padrão de dimensões, que satisfaz a equação diferencial estocástica , é dado poristo é, , em que denota o operador de Laplace.
Equações de Kolmogorov e de Fokker–Planck O gerador é usado na formulação da equação regressiva de Kolmogorov. Intuitivamente, esta equação diz como o valor esperado de qualquer estatística adequadamente suave de evolui no tempo: ele deve resolver uma certa equação diferencial parcial em que o tempo e a posição inicial são variáveis independentes. Mais precisamente, se tiver suporte compacto e for definida por:então, é diferenciável no que diz respeito a para todo e satisfaz a seguinte equação diferencial parcial, conhecida como equação regressiva de Kolmogorov:A equação de Fokker–Planck (também conhecida como equação progressiva de Kolmogorov) é, em algum sentido, a "adjunta" da equação regressiva e diz como as funções densidade de probabilidade de evoluem com o tempo . Considere que é a densidade de no que diz respeito à medida de Lebesgue em , isto é, para qualquer conjunto mensurável de Borel :Considere que denota o adjunto hermitiano de (no que diz respeito ao produto interno L2). Então, dado que a posição inicial tem a densidade prescrita , é diferenciável no que diz respeito a , para todo e satisfaz a seguinte equação diferencial parcial, conhecida como a equação de Fokker–Planck:
Fórmula de Feynman–Kac A fórmula de Feynman–Kac é uma generalização útil da equação regressiva de Kolmogorov. Novamente, está em e tem suporte compacto e assume-se que é uma função contínua que é limitada abaixo. Define-se uma função por:A fórmula de Feynman–Kac afirma que satisfaz a equação diferencial parcial:Além disso, se for em tempo, em espaço, limitada como para todo compacto e satisfizer a equação diferencial parcial acima, então, deve ser como definida acima.
A equação regressiva de Kolmogorov é o caso especial da fórmula de Feynman–Kac em que para todo .
Operador característico Definição O operador característico de uma difusão de Itō é um operador diferencial parcial intimamente relacionado com o gerador, mas de certa forma mais geral. É mais adequado para certos problemas, por exemplo na solução do problema de Dirichlet.
O operador característico de uma difusão de Itō é definido por:em que os conjuntos formam uma sequência de conjuntos abertos que decrescem ao ponto no sentido em que:eé o primeiro tempo de saída a partir de para . denota o conjunto de todas as para as quais este limite existe para todo e todas as sequências . Se para todos os conjuntos abertos contendo , define-se:
Relação com o gerador O operador característico e o gerador infinitesimal estão muito intimamente relacionados e até mesmo concordam para uma grande classe de funções. Pode-se mostrar que:e queEm particular, o gerador e o operador característico concordam para todas as funções e nesse caso:
Aplicação do movimento browniano em uma variedade de Riemann miniaturadaimagem|O operador característico de um movimento browniano é uma vez e meia o operador de Laplace-Beltrami. Aqui está o operador de Laplace-Beltrami em uma esfera bimensional. Acima, o gerador (e assim o operador característico) do movimento browniano em foi calculado como sendo , em que denota o operador de Laplace. O operador característico é útil ao definir o movimento browniano em uma variedade de Riemann de dimensões: um movimento browniano em é definido como sendo uma difusão em cujo operador característico em coordenadas locais , , é dado por , em que é operador de Laplace–Beltrami dado em coordenadas locais por:em que no sentido do inverso da matriz quadrada.
Operador resolvente Em geral, o gerador de uma difusão de Itō não é um operador limitado. Entretanto, se um múltiplo positivo do operador identidade for subtraído a partir de , então, o operador resultante é invertível. O inverso deste operador pode ser expresso em termos do próprio usando o operador resolvente.
Para , o operador resolvente , agindo em funções limitadas, contínuas , é definido como:Pode-se mostrar, usando a continuidade de Feller da difusão , que é ele mesmo uma função limitada, contínua. Também, e são operadores mutuamente inversos: Se for com suporte compacto, então, para todo ,
Se for limitada e contínua, então, repousa em , para todo ,
Medidas invariantes Algumas vezes, é necessário encontrar uma medida invariante para uma difusão de Itō , isto é, uma medida em que não muda sob o "fluxo" de , ou seja, se for distribuída de acordo com tal medida invariante , então, é também distribuída de acordo com para qualquer . A equação de Fokker–Planck oferece uma maneira de encontrar tal medida, pelo menos se tiver uma função densidade de probabilidade : se for de fato distribuída de acordo com uma medida invariante com densidade , então, a densidade de não muda com , de modo que , e então deve resolver a equação diferencial parcial (independente de tempo):Isto ilustra uma das conexões entre a análise estocástica e o estudo das equações diferenciais parciais. Reciprocamente, uma dada equação diferencial parcial linear de segunda ordem da forma pode ser difícil de resolver diretamente, mas se para alguma difusão de Itō e uma medida invariante para for fácil de computar, então, a densidade daquela medida oferece uma solução para a equação diferencial parcial.
Medidas invariantes para fluxos de gradiente Uma medida invariante é comparativamente fácil de computar quando o processo é um fluxo de gradiente estocástico de forma:em que desempenha o papel de uma temperatura inversa e é um potencial escalar que satisfaz a suavidade adequada e as condições de crescimento. Neste caso, a equação de Fokker–Planck tem uma única solução estacionária (isto é, tem uma única medida invariante com densidade ) e é dada pela distribuição de Gibbs:em que a função de partição é dada por:Além disso, a densidade satisfaz um princípio variacional: isto minimiza sobre todas as densidades de probabilidade em a energia livre funcional dada por:em quedesempenha o papel de uma energia funcional eé a negativa da funcional de entropia de Gibbs–Boltzmann. Mesmo quando o potencial não é bem comportado o bastante para a função de partição e a medida de Gibbs a serem definidas, a energia livre ainda faz sentido para cada tempo , desde que a condição inicial tenha . A energia livre funcional é, na verdade, uma função de Lyapunov para a equação de Fokker–Planck: pode decrescer conforme aumenta. Assim, é uma função H para a dinâmica X.
Exemplo