Em matemática, a derivada direcional de uma função multivariável diferenciável ao longo de um dado vetor v em um dado ponto x intuitivamente representa a taxa instantânea de variação da função, movendo-se através de x com uma velocidade especificada por v. Ela, portanto, generaliza a noção de derivada parcial, em que a taxa de mudança é tomada ao longo de uma curva em um sistema de coordenadas curvilíneo, com todas as outras coordenadas sendo constantes.
A derivada direcional é um caso especial da derivada de Gâteaux.
Notação Seja τ uma curva cujo vetor tangente em algum ponto escolhido é v. A derivada direcional de uma função f em relação a v pode ser representada das seguintes maneiras:
Definição A derivada direcional de uma função da forma na direção tem por definição:
Também pode ser escrita como o produto escalar:
Essa definição foi estabelecida para duas dimensões, mas pode ser generalizada para três dimensões. Teremos, portanto, uma função de três variáveis, w = f (x, y, z), que pode ser representada graficamente num sistema de coordenadas retangulares.
Esse produto escalar entre o gradiente de f e um vetor unitário tem grandes implicações na matemática. Sejam algumas delas:
A derivada direcional será máxima e igual ao módulo do gradiente se o ângulo θ entre os vetores e for igual a zero.
A derivada direcional será mínima e igual a menos o módulo do gradiente se o ângulo θ entre os vetores e for igual a 180°.
A derivada direcional será nula se for uma curva de nível representada por e for um vetor tangente à curva de nível. Observando o produto escalar temos uma condição de perpendicularidade entre e , o que prova que o gradiente será normal à curva de nível .
Usando apenas a direção do vetor miniaturadaimagem|O ângulo α entre a tangente A e a horizontal será máximo se o plano de corte contém a direção do gradiente de A. Em um espaço Euclidiano, alguns autoresThomas, George B. Jr.; and Finney, Ross L. (1979) Calculus and Analytic Geometry, Addison-Wesley Publ. Co., fifth edition, p. 593. definem a derivada direcional como sendo relacionada a um vetor v arbitrário e não nulo depois de normalizado, sendo, pois, independente de sua magnitude e dependendo apenas de sua direção.
Esta definição fornece a taxa de crescimento de f por unidade de distância movida na direção dada por v. Neste caso, tem-se que
ou no caso de f ser diferenciável em x,
Restrição para um vetor unitário No contexto de uma função em um espaço Euclidiano, alguns textos restringem o vetor v a ser um vetor unitário. Com esta restrição, ambas as definições acima são equivalentes.
Propriedades Muitas das propriedades familiares da derivada ordinária são mantidas para a derivada direcional. Estes incluem, para quaisquer funções f e g definidas e diferenciáveis em um ponto p, bem como em sua vizinhança:
Em geometria diferencial Seja uma variedade diferenciável e um ponto de . Suponha que é uma função definida em uma vizinhança de , e diferenciável em . Se é um vetor tangente a em , então a derivada direcional de ao longo de , denotada alternativamente como , (consulte a derivada Covariante), (consulte a Derivada de Lie), ou, pode ser definido como se segue. Deixe ser uma curva diferenciável com e . Então a derivada direcional é definida por
Esta definição pode ser comprovada independentemente da escolha de , desde que seja selecionado da maneira descrita de modo que .
A derivada de Lie A derivada de Lie de um campo de vetores ao longo de um campo de vetores é dada pela diferença de duas derivadas direcionais:
Em particular, para um campo escalar a derivada de Lie reduz-se à derivada direcional padrão:
O tensor de Riemann Derivadas direcionais são usadas frequentemente em derivações introdutórias do tensor de curvatura de Riemann. Considere um retângulo curvado com um vetor infinitesimal δ ao longo de uma borda e δ′ ao longo da outra. Transladamos um covetor S ao longo de δ, em seguida, δ′ e, em seguida, subtraímos a translação ao longo de δ′ e, em seguida, de δ. Em vez de construir a derivada direcional usando derivadas parciais, usamos a derivada covariante. O operador de translação para δ é portanto
e para δ′,
A diferença entre os dois caminhos é, então,
Pode-se argumentar que a não comutatividade das derivadas covariantes mede a curvatura da variedade:
onde R é o tensor de curvatura de Riemann e o sinal depende da convenção de sinais do autor.
Na teoria dos grupos
Translações Na álgebra de Poincaré, podemos definir um operador de translação infinitesimal P como
(o i assegura que P é um operador autoadjunto). Para um deslocamento finito λ, a representação unitária do espaço de Hilbert para translações é
Usando a definição acima de operador de translação infinitesimal, vemos que o operador de translação finita é o exponencial de uma derivada direcional:
Este é um operador de translação, no sentido em que ele atua sobre funções multivariadas f(x) como
Prova da última equaçãoA derivada de uma função suave f(x) é definida por (para um termo ε pequeno)
Isto pode ser rearranjado para encontrar f(x+ε):
Daí, é uma operador de translação. Isto é instantaneamente generalizado para de funções com diversas variáveis f(x)
Aqui é a derivada direcional ao longo do deslocamento infinitesimal ε. Encontramos a versão infinitesimal do operador translacional:
É evidente que a lei de multiplicação do grupo U(g)U(f)=U(gf) assume a forma
Então, suponha-se que tomemos um deslocamento finito λ e dividamos em N partes (N→∞ é implicado em todos os lugares), assim λ/N=ε. Em outras palavras,
Então, aplicando U(ε) N vezes, podemos construir U(λ):
Agora podemos conectar na expressão acima em U(ε):
Usando a identidade
obtemos
Uma vez que U(ε)f(x)=f(x+ε), vamos encontrar
Q.E.D.
Como uma nota técnica, este procedimento só é possível porque o grupo de translação forma um subgrupo abeliano (subálgebra de Cartan) na álgebra de Poincaré. Em particular, a lei multiplicativa do grupo U(a)U(b)=U(a+b) não deve ser considerada. Também podemos notar que Poincaré é um grupo de Lie conectado. É um grupo de transformação T(ξ) que é descrito por um conjunto contínuo de parâmetros reais . A lei multiplicativa do grupo assume a foma
Tomando =0 como as coordenadas da identidade, temos
Os operadores no espaço de Hilbert são representados pelos operadores unitários U(T(ξ)). Na notação acima, foi suprimido o T; agora vamos escrever U(λ) como U(P(λ)). Para as vizinhança próxima à identidade, a série de potências pode ser representada como
Suponha que U(T(ξ)) forma uma representação sem projeção, isto é,
A expansão de f à segunda potência é
Depois de expandir a equação de multiplicação de representação e equacionando os coeficientes, temos a condição não trivial
Uma vez que é por definição simétrica em seus índices, nós vamos ter o comutador padrão da álgebra de Lie:
sendo C a constante de estrutura. Os geradores para translação são operadores de derivadas parciais, que comutam:
Isso implica que as constantes de estrutura somem e então os coeficientes quadráticos na expansão de f somem também, o que significa que f é simplesmente aditiva:
e então para grupos abelianos,
Q.E.D.
Rotações O operador rotacional também contém uma derivada direcional. O operador rotacional de um ângulo θ, isto é, por uma quantidade θ=|θ| em torno de um eixo paralelo a =θ/θ é
Aqui L é o operador vetorial que gera SO(3):
Pode ser demonstrado geometricamente que uma rotação infinitesimal dextrógira altera a posição do vetor x por
Assim, nós esperaríamos de uma rotação infinitesimal:
Segue que
Seguindo o mesmo procedimento de exponenciação acima, chegamos no operador rotacional na posição base, que é o exponencial de uma derivada direcional:
Derivada normal Uma derivada normal é uma derivada direcional tomada na direção normal (isto é, ortogonal) a alguma superfície no espaço, ou, mais geralmente, ao longo de um campo vetorial normal a alguma hipersuperfície. Veja, por exemplo, a condição de contorno de Neumann. Se a direção normal é denotada por , então a derivada direcional de uma função f é às vezes denotada por . Em outras notações,
Na mecânica contínua de sólidos Vários resultados importantes em mecânica contínua exigem as derivadas de vetores em relação aos vetores e de tensores em relação aos vetores e tensores.J. E. Marsden and T. J. R. Hughes, 2000, Mathematical Foundations of Elasticity, Dover. A derivada direcional proporciona uma forma sistemática de encontrar essas derivadas.
As definições de derivadas direcionais para várias situações são dadas abaixo. Presume-se que as funções são suficientemente suaves para que as derivadas possam ser tomadas.
Derivadas de funções vetoriais com imagem escalar Seja uma função com imagem real do vetor . Então a derivada de em relação a na direção é definida como
para todos os vetores .
Propriedades:
Derivadas funções vetoriais com imagem vetorial Seja uma função, com imagem vetorial, do vetor . Então a derivada de em relação a na direção é o tensor de segunda ordem definido como
para todos os vetores .
Propriedades:
Derivadas de funções de tensores de segunda ordem com imagem escalar Seja uma função com imagem real do tensor de segunda ordem . Então a derivada de em relação à na direção é o tensor de segunda ordem definido como
para todos os tensores de segunda ordem .
Propriedades:
Derivadas de funções de tensores de segunda ordem com imagem tensorial Seja uma função com imagem tensorial de segunda ordem do tensor de segunda ordem . Então a derivada de em relação à na direção é o tensor de quarta ordem definido como
para todos os tensores de segunda ordem .
Propriedades:
Ver também Derivada de Fréchet Derivada de Lie Forma diferencial Del em coordenadas cilíndricas e esféricas
Bibliografia
Strauch, I. Análise Vetorial em Dez Aulas.
Ligações externas
Derivadas direcionais em MathWorld. Derivadas direcionais em PlanetMath.
Categoria:Cálculo diferencial Categoria:Geometria diferencial