Em matemática, particularmente na área de análise funcional e processamento do sinal, convolução é um operador linear que, a partir de duas funções dadas, resulta numa terceira que mede a soma do produto dessas funções ao longo da região subentendida pela superposição delas em função do deslocamento existente entre elas. O conceito de convolução está ligado à integral de superposição na Óptica de Fourier, à integral de Duhamel na teoria das vibrações, ao Teorema de Borel no estudo de sistemas lineares invariantes no tempo, ao conceito de média móvel, às funções de correlação e de autocorrelação em estatística e em processamento de sinais, e a diversos conceitos usados em análise de imagens, como digitalização, alisamento, embaçamento e aberração cromática.Bracewell, R. - The Fourier Transform And Its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, Cap. 3, pp. 24-54,ISBN 978-0-1381-4757-0Alguns autores, como, por exemplo, Bracewell (2000), chamam integral de convolução à convolução contínua, e soma de convolução à convolução discreta.
Definição
Convolução contínua
A notação para a convolução de e é . Ela é definida como a integral do produto de uma das funções por uma cópia deslocada e invertida da outra; a função resultante depende do valor do deslocamento. Se x for a variável independente e u, o deslocamento, a fórmula pode ser escrita como:Oppenheim, Willsky e Young - Signals and Systems, Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1983, Cap. 3, pp. 69-159, ISBN 978-0-1380-9731-8
Note-se que h(x) depende de f(x) e de g(x) mas, para calcular h(x1), não basta conhecer f(x1) e g(x1); é preciso conhecer os valores de f(x) e de g(x) em todo o intervalo -∞ < x < ∞.
Por razões históricas, a expressão de definição da convolução frequentemente refere-se a variáveis físicas relacionadas com o tempo, na forma seguinte:
Mas a expressão (1a) é preferível, por ser mais genérica. Atualmente, a convolução encontra muitas aplicações em matemática pura e processamento de dados. Além disso, mesmo em física e engenharia, a convolução nem sempre se aplica a fenômenos que variam no tempo; existem casos de aplicação a variações no espaço.
Nem todo par de funções f(x), g(x) pode sofrer convolução. Em alguns casos, a integral não pode ser calculada. As condições de existência (ou seja, de integrabilidade) da convolução são discutidas mais abaixo.
Convolução discreta
Existe ainda uma definição de convolução para funções de domínio discreto, dada por
Onde f e g são sequências de tamanho n e a fórmula fornece o valor do k-ésimo elemento do resultado. Deve-se notar que o tamanho de h é 2n-1, isto é, k varia de 0 a 2n-1 na fórmula acima.
As sequências f e g não precisam necessariamente ter o mesmo tamanho, supondo f com n elementos e g com m elementos, o tamanho de k será dado por n+m-1.
A convolução discreta pode ser escrita em forma matricial:
onde f é um operador matricial que transforma o vetor (ou matriz-coluna) g em outro vetor (ou matriz-coluna) h, conforme abaixo:
Note-se que g deve receber elementos nulos de modo a ficar com 2n-1 linhas, o mesmo tamanho de h. f será uma matriz de (2n-1) x (2n-1) elementos.Essa matriz é claramente uma matriz de Toeplitz. Devido à presença desses n-1 zeros anexados a g, os valores nas n-1 colunas mais à direita de f não influem no resultado, e podem por conseguinte ser também zerados. Assim, pode-se escrever (2b) alternativamente como
onde g não recebe elementos nulos extras e f é uma matriz de (2n-1) x (n-1) elementos.
Note-se também que a convolução definida pela expressão (2b) não é comutativa. Nos casos de aplicação em que se prefere essa expressão em detrimento da (2b), isso não constitui um problema. Na verdade, em tais casos f e g desempenham papéis diferentes e seria contra-intuitivo invertê-los.
Em muitas aplicações práticas as sequências são grandes o suficiente para considerá-las como se fossem infinitas, isto é, como contendo um número infinito de zeros no início e no final. Seguindo-se essa convenção, não é preciso preocupar-se com o fato de as sequências f, g e h terem tamanhos díspares. Nesses casos, a fórmula da convolução discreta pode ser escrita na forma alternativaRussell, D. - Discrete Convolution and the Discrete Fourier Transform, disponível em http://www.math.vt.edu/people/russell/m2k_opm_dfour3.pdf, acessado em 27/09/2012Hirschman e Widder - The Convolution Transform, New Jersey:Princeton, 1955, cap. 1, pp. 3 a 5, ISBN 978-0-4864-4175-7
Essa expressão é mais geral e mais útil para a demonstração de teoremas. Se for usada, evidentemente pode acontecer de o valor de k-j ser negativo. Isso ocorre porque, uma vez que as sequências são tornadas infinitas, a origem k=0 passa a ser arbitrária.
Essa expressão é a única admissível se as duas sequências f e g forem naturalmente infinitas. Por exemplo, se forem representações em série de Laurent de duas funções complexas f(s) e g(s).
A convolução como uma integral indefinida
Uma expressão alternativa para a definição de convolução contínua para funções f(x) e g(x) definidas no intervalo [0,∞]Essa restrição de intervalo não constitui nenhuma perda de generalidade, na prática, uma vez que a escolha da origem x=0 é arbitrária. é a seguinte:
que é a equivalente contínua de (2c), assim como (1a) é a equivalente contínua de (2a).Russell, D. - The Convolution Operation, disponível em http://www.math.vt.edu/people/russell/m2k_opm_convol.pdf, acessado em 27/09/2012
Convolução cíclica
Se f e g são funções periódicas com período τ, a informação útil existente no intervalo -∞ < x < ∞ aparece toda em qualquer intervalo de tamanho τ; os valores em outros intervalos são apenas replicações daquele. Nesse caso, é suficiente computar a convolução dentro desse intervalo menor, o que é frequentemente menos trabalhoso, principalmente quando se trata da convolução discreta. Assim, define-se a convolução cíclica (ou convolução circular), na sua variante contínua, de f e g como
onde a é arbitrário. Como as funções são periódicas, e o resultado também, é mais natural escreverBracewell, R. - op. cit., Cap. 11, pp. 264-265
com a substituição da variável linear x pela variável angular θ. Quanto à convolução cíclica discreta, é dada por
onde H é a função passo de Heaviside (ou degrau unitário), e n é o período da sequência. O termo n·H(j - k) aparece para manter o argumento de g(k) dentro da faixa [0,n-1], sem o que a computação não pode ser feita. É comum na literatura, no entanto, a sua omissão, uma vez que, devido ao fato de g(k) ser periódica com período n, g(k-j), para k<j, pode ser substituído por g(k-j+n).
Alguns autores, como, por exemplo, Oppenheim (1983), adotam o termo convolução linear para designar a convolução discreta, para evidenciar as diferenças entre esta e a convolução cíclica e evitar confusão entre as duas. A convolução cíclica demanda interpretação e exibe propriedades diferentes; para mais detalhes, ver abaixo.
Da mesma forma que (2d) corresponde a (2a) para a convolução cíclica discreta, a equação (2b) permanece válida neste caso, com g, h e h conforme abaixo:
Pode-se ver que f é uma matriz circulante.
Convenções
Neste verbete, j, k, m e n denotam números inteiros. a e b são constantes reais. c é uma constante complexa. u, v, w, x, y e z denotam variáveis reais. s denota uma variável complexa. t e τ denotam o tempo em exemplos de aplicações físicas. ε denota uma grandeza infinitesimal. θ e φ denotam ângulos.
Interpretações
O exame direto da integral de definição deixa claro que a convolução é uma medida da área subentendida pelo produto da função f(x) com uma cópia invertida no tempo de g(x), em função da distância relativo entre elas. Algumas interpretações possíveis são mencionadas abaixo.
Como cálculo de uma média móvel ponderada
Para se adquirir uma boa visão intuitiva da convolução, pode-se entender que ela consiste no cálculo do valor médio da função g(x). Trata-se de uma média ponderada com pesos dados por f(x). A inversão de g(x) não altera nada na interpretação, pois x não tem significado físico. Inverte-se g(x) apenas por conveniência, uma vez que sem isso a operação não seria comutativa (ver mais abaixo).
A figura abaixo ilustra um caso. A variável t representa o tempo, como ocorre em várias aplicações de física. A área de superposição de f(τ) e g(t - τ), em amarelo, é nula para |t - τ| > 1 e atinge um máximo de 1 em (t - τ) = 0, isto é, quando t = τ.
Como medição de uma grandeza física
Fisicamente, essa operação poderia ser encarada como o resultado da aplicação de um instrumento de medida cuja resposta fosse dada por f(x) a um fenômeno físico expresso pela função g(x). A convolução, nesse caso, daria o resultado da medição. Quanto mais constante e compacta for f(x) (ou seja, quanto mais preciso for o instrumento), mais o resultado final (a medição) será similar a g(x) (o fenômeno observado).
A figura abaixo ilustra um exemplo. Novamente a variável t representa o tempo. O instrumento apresenta uma resposta com decaimento exponencial, um caso bastante comum. É fácil ver que um instrumento perfeito teria que ter uma resposta f(t) = δ(t), onde δ(t) é o Delta de Dirac ou impulso unitário: a área subentendida por f(t) é 0 para -∞ < t < ε, e muda bruscamente para 1 para t > ε. Dessa forma, h(t) = 0 para -∞ < t < ε e g(t) para t > ε.Mais exatamente, nos pontos tk onde g(t) for descontínua, h(t) será o limite de ½ (f(tk - ε) + f(tk + ε)) quando ε → 0.
Como a operação de convolução é comutativa (ver mais abaixo, fica claro também que, se o sinal aplicado g(t) = δ(t), o resultado h(t) será idêntico a f(t), que foi definido como a resposta do instrumento. Assim, uma maneira direta de levantar a função resposta de um instrumento é aplicar um impulso unitário na sua entrada e medir a saída.Bracewell, R. - op. cit., Cap. 5, pp. 74-104
Como o produto de dois polinômios
A convolução discreta nada mais é que o produto de Cauchy de dois polinômios f e g, de ordem n-1. Se f = f0 + f1x + f2x2 + … fn-1xn-1 e g = g0 + g1x + g2x2 + … gn-1xn-1, o produto será uma sequência h = h0 + h1x + h2x2 + … h2n-2x2n-2, com: h0 = f0g0 h1 = f0g1 + f1g0 h2 = f0g2 + f1g1 + f2g0 e assim por diante. Ou seja,
que é idêntica à expressão (2a), a menos da notação usada.
Produto de duas sequências
O resultado acima mostra que a convolução discreta pode ser usada para calcular o produto de quaisquer sequências f e g, mesmo que uma ou ambas sejam infinitas ou semi-infinitas. Nesse contexto, n é o número de termos da maior entre elas. Em um exemplo possível de aplicação, g é um conjunto de amostras de um sinal e f representa um processamento aplicado a g.
Nesse exemplo, podem-se identificar casos especiais da sequência f: f = {1} funciona como uma "sequência identidade" (ou "unitária"), pois f*g = g; outras sequências com a mesma propriedade são {1, 0}, {1, 0, 0} e inclusive a sequência infinita {… 0, 0, 1, 0, 0 …}; f = {1, -1} gera a primeira diferença finita de g, pois hk = gk - gk-1; (com m termos) gera a média móvel de g para uma janela de largura m; f = {1, 1, 1 …} (semi-infinita) funciona como a "sequência inversa" de {1, -1}, ou seja, f * {1, -1} = {1, 0, 0 …}; f = { … 0, 0, 0, 1, 1, 1 , 0, 0, 0 …} (infinita) e outras similares provocam o efeito de embaçamento em imagens.
Como uma integral indefinida
Uma função escrita como integral indefinida na forma
pode ser escrita na forma alternativa de uma integral imprópria
onde H(x) é a função de passo de Heaviside (ou degrau unitário). Isso acontece porque a função H(x - u) é nula para qualquer valor de u > x, e igual a 1 para -∞ < u < x.
é óbvio que a expressão da integral é uma convolução f(x) * H(x). Assim, pode-se escrever:
para qualquer função f(x), contanto que a convolução possa ser calculada.Bracewell, R. - op. cit., Cap. 4, pp. 55-73
Como maneira de expressar uma sequência