Em matemática (especialmente topologia algébrica e álgebra abstrata), homologia (em parte do Grego ὁμός homos "identical") é uma maneira geral de associar uma sequência de objetos algébricos tais como grupos ou grupos abelianos ou módulos a outros objetos matemáticos tais como o espaço topológico. Na linguagem da teoria das categorias, dizemos que uma teoria de homologia é um functor covariante da categoria dos espaços topológicos na categoria dos grupos abelianos graduados. Grupos de homologia foram originalmente definidos em topologia algébrica. No entanto, construções semelhantes estão disponíveis em uma ampla variedade de outros contextos, tais como grupos, álgebra de Lie, Teoria de Galois e geometria algébrica.
Já em álgebra comutativa, uma teoria de homologia é um functor covariante da categoria dos complexos de cadeia na categoria dos grupos abelianos graduados. A álgebra homológica trata do estudo de tais functores. Além disto, existe dentro da teoria de categorias uma área de pesquisa denominada álgebra homológica abstrata,M. Osborne - Basic Homological Algebra. Springer Verlag (2000). que generaliza as ferramentas da álgebra homológica ao contexto das categorias abelianas. Tal formulação da homologia algébrica foi concebida por A. Grothendieck para estudar feixes sobre variedades algébricas.A. Grothendieck - Sur quelques points d'algèbre homologique, Tohoku Math. J., t. 9, p. 119- 183 (1957).
A motivação original para a definição de grupos de homologia foi a observação de que duas formas podem ser distinguidas examinando seus buracos. Por exemplo, um círculo não é um disco porque o círculo tem um furo através dele enquanto o disco é sólido, e a esfera ordinária não é um círculo porque a esfera delimita um furo bidimensional enquanto o círculo delimita um furo unidimensional. No entanto, porque um buraco é "não existente", não é imediatamente óbvio como definir um buraco ou como distinguir diferentes tipos de buracos. Homologia foi originalmente um método matemático rigoroso para definir e categorizar os buracos em uma variedade. Falando superficialmente, um "círculo" é uma subvariedade fechada, uma "fronteira" é a fronteira de uma subvariedade com limite e uma "classe de homologia" (que representa um buraco) é uma classe de equivalência de círculo módulo limites.
Existem muitas teorias de homologia diferentes. Um tipo particular de objeto matemático, como um espaço topológico ou um grupo, pode ter uma ou mais teorias de homologia associadas. Quando o objeto subjacente tem uma interpretação geométrica como os espaços topológicos, o n - grupo de homologia representa um comportamento exclusivo de dimensão n . Em geral, a maioria dos grupos de homologia ou módulos surgem como funtor derivado na apropriada categorias abelianas. Eles fornecem descrições concretas da falha de um functor para ser funtor exato. A partir desta perspectiva abstrata, os grupos de homologia são determinados por objetos de uma categoria derivada.
Background
Origens Pode-se dizer que a teoria da homologia começa com a fórmula do poliedro de Euler, ou característica de Euler. Isto foi seguido pela definição de Riemann para genus e invariantes numéricos da conectividade do "n" - fold em 1857 e a prova de Betti em 1871 da independência de "números da homologia" da escolha da base.
A própria homologia foi desenvolvida como uma forma de analisar e classificar as variedades de acordo com seus "círculos" - laços fechados (ou mais geralmente subvariedades) que podem ser desenhados em uma dada variedade "n" - dimensional, mas não continuamente deformados um no outro.Richeson 2008 p.254. Estes círculos também são por vezes considerados como cortes que podem ser colados de volta juntos, ou como zíperes que podem ser presos e desatados. Os círculos são classificados por dimensão. Por exemplo, uma linha desenhada sobre uma superfície representa um 1-círculo, um laço fechado ou (1-variedade), enquanto uma superfície cortada através de uma variedade tridimensional é um 2-círculo.
Superfícies
thumb|left|200px|Círculos sobre uma 2-esfera
Na esfera , o ciclo b no diagrama pode ser encolhido para o pólo e até mesmo o círculo equatorial grande círculo a pode ser encolhido da mesma maneira. O teorema da curva de Jordan mostra que qualquer círculo arbitrário tal como c pode ser encolhido de forma semelhante até um ponto. Todos os círculos na esfera podem portanto ser continuamente transformados um no outro e pertencerem à mesma classe de homologia. Diz-se que eles são homólogos a zero. Cortar uma variedade ao longo de um círculo homólogo a zero separa a variedade em duas ou mais componentes. Por exemplo, cortar a esfera ao longo de a produz dois hemisférios.
thumb|256px|Círculos sobre um toro
Isto não é geralmente verdade para círculos em outras superfícies. O toro tem círculos que não podem ser continuamente deformados um no outro, por exemplo no diagrama nenhum dos ciclos a , b ou c podem ser continuamente deformados um no outro. Os círculos a e b não podem ser reduzidos significativamente. Círculos c pode ser encolhido até um ponto, portanto é homólogo a zero.
Se a superfície do toro é cortada ao longo de ambos a e b, ele pode ser aberto e achatado em um retângulo ou, mais convenientemente, um quadrado. Um par de lados opostos representa o corte ao longo de a , e o outro par oposto representa o corte ao longo de b .
As bordas do quadrado podem então ser coladas de volta de diferentes maneiras. O quadrado pode ser torcido para permitir que as arestas se encontrem na direção oposta, como mostrado pelas setas no diagrama. Até a simetria, existem quatro maneiras distintas de colar os lados, cada um criando uma superfície diferente:
thumb|centre|460px|As quatro maneiras de colar um quadrado para fazer uma superfície fechada: cola setas simples juntos e cola setas duplas juntos.
thumb|left|240px|Círculos sobre uma garrafa de Klein
é a garrafa de Klein, que é um toro com uma torção nele (a torção pode ser visto no diagrama quadrado como a inversão da seta em um dos lados). É um teorema que a superfície re-colada pode ter auto-interseção (quando imerso em 3-espaço Euclidiano). Como no toro, os círculos a e b não podem ser reduzidos enquanto c pode ser. Mas ao contrário do toro, seguindo o b avança para a direita e vice-versa para a esquerda e para a direita, porque b passa a cruzar a torção dada a uma junção. Se um corte equidistante de um lado de b for feito, ele retorna do outro lado e volta pela superfície uma segunda vez antes de retornar ao seu ponto de partida, cortando uma faixa de Möbius torcida. Como a esquerda e a direita locais podem ser arbitrariamente reorientadas dessa maneira, a superfície como um todo é dita não-orientável.
thumb|246px|Círculos sobre o plano projetivo hemisférico
O plano projetivo tem ambas as colagens "torcidas". A forma não cortada, geralmente representada como a superfície do menino, é visualmente complexa, de modo que uma inserção hemisférica é mostrada no diagrama, em que os pontos antipodais ao redor da borda, como A e A, são identificados como o mesmo ponto. Novamente, a e b são não-reduzíveis enquanto c é. Mas desta vez, ambos a e b invertem à esquerda e à direita.
Círculos podem ser colados juntos, como foram a e b no toro quando foi cortado aberto e achatado para baixo. No diagrama da garrafa de Klein, a vai em uma direção e −a vai ao contrário. Se a é pensado como um corte, então −a pode ser pensado como uma operação de colagem. Fazendo um corte e, em seguida, re-colagem não muda a superfície, então a + (−a) = 0.
Seguindo um círculo orientável tal como a cerca de duas vezes dá simplesmente a + a = 2a . Mas círculos não-orientáveis se comportam de forma diferente. No plano projetivo, seguindo o círculo não-reduzível b contornando duas vezes notavelmente cria um círculo trivial que "pode" ser reduzido a um ponto; isto é, b + b = 0. Porque b deve ser seguido em torno de duas vezes para atingir um círculo zero, neste caso dizemos que a superfície tem um coeficiente de torção 2. O mesmo se aplica a b no exemplo da garrafa Klein. Para ver isso, você pode usar Teorema da curva de Jordan novamente.
Um quadrado é um espaço topológico contrátil, o que implica que tem homologia trivial. Consequentemente, cortes adicionais o deixa desconexo. O quadrado não é a única forma plana que pode ter os lados colados para gerar uma superfície. Colar os lados opostos de um octógono, por exemplo, produz uma superfície com dois furos. De fato, todas as superfícies fechadas podem ser produzidas colando os lados de algum polígono e todos os polígonos de lados pares (2n - lados) podem ser colados para formar superfícies diferentes. Por outro lado, uma superfície fechada com n não-nulas classe pode ser cortada em um 2n -lados. Também são possíveis variações, por exemplo, um hexágono também pode ser colado para formar um toro.
A primeira teoria reconhecível de homologia foi publicada por Henri Poincaré em seu paper seminal "Analysis situs", "J. Ecole polytech. (2) 1. 1-121 (1895). O artigo apresentou classes de homologia e relações. As possíveis configurações de círculos orientáveis são classificadas pelo número de Betti da variedade (os números de Betti são um refinamento da característica de Euler). A classificação dos círculos não-orientáveis requer informações adicionais sobre o coeficiente de torção.
A classificação completa de 1- e 2-variedade é dada pela seguinte tabela:
+ Características topológicas de 1- e 2- variedades fechadasRicheson (2008) Variedade Número de Eulerχ Orientabilidade Número de Betti Coeficiente de torção(1-dimensional) SímboloWeeks, J.R.; The Shape of Space, CRC Press, 2002. Nome b0 b1 b2 Círculo (1-variedade) 0 Orientável 1 1 N/A N/A Esfera 2 Orientável 1 0 1 nenhum Toro 0 Orientável 1 2 1 nenhum Plano projetivo 1 Não-orientável 1 0 0 2 Garrafa de Klein 0 Não-orientável 1 1 0 2 2-toro −2 Orientável 1 4 1 nenhum g-toro (Genus = g) 2 − 2g Orientável 1 2g 1 nenhum Esfera com c cross-caps 2 − c Não-orientável 1 c − 1 0 2 2-variedade com g buracos e c cross-caps (c > 0) 2 − (2g + c) Não-orientável 1 (2g + c) − 1 0 2NOTES:Para uma superfície não-orientável, um buraco é equivalente a dois cross-caps. Qualquer 2-variedade é uma soma conexa de um g-toro e c-planos projetivos. Para uma esfera , g = c = 0.
Generalização Uma variedade com bordo ou uma variedade aberta é topologicamente diferente de uma variedade fechada e pode ser criada fazendo um corte adequado em qualquer variedade fechada. Por exemplo, o disco ou 1-esfera é limitado por um círculo . Pode ser criado cortando um círculo trivial em qualquer 2-variedade e mantendo a peça removida, perfurando a esfera e esticando a punção de largura, ou cortando o plano projetivo. Também pode ser visto como preenchimento do círculo no plano.
Quando dois círculos podem ser continuamente deformados um no outro, então o corte ao longo de um produz a mesma forma que o corte ao longo do outro, até alguma flexão e alongamento. Neste caso, diz-se que os dois círculos são "homólogos" ou estão na mesma "classe de homologia". Adicionalmente, se um círculo puder ser continuamente deformado numa combinação de outros círculos, o corte ao longo do círculo inicial é o mesmo que o corte ao longo da combinação de outros círculos. Por exemplo, cortar ao longo de uma figura 8 é equivalente a cortar ao longo dos seus dois círculos. Neste caso, a figura 8 é dita homóloga à soma dos seus círculos.
Duas variedades abertas com bordas semelhantes (até alguma flexão e alongamento) podem ser colados em conjunto para formar uma nova variedade que é sua soma conexa.
Esta análise geométrica das variedades não é rigorosa. Em busca de maior rigor, Poincaré passou a desenvolver a homologia simplicial de uma variedade triangulada e criar o que agora é chamado de complexo de cadeia.Richeson 2008 p.258 Estes complexos de cadeia (desde muito generalizados) formam a base para a maioria dos tratamentos modernos de homologia.