thumb|220px|A área em vermelho é o complementar de A em U, . No exemplo, o conjunto A está representado pela circunferência em branco enquanto que o conjunto universo U é representado por todo o retângulo. Em teoria dos conjuntos, o complementar de um subconjunto se refere a elementos que não estão no conjunto . Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa à um conjunto universo , sendo o conjunto o complementar de formado pelos elementos de que não pertencem a . De maneira mais geral, define-se o complementar de em relação a , também chamado de diferença de conjuntos, como o conjunto dos elementos de que não estão em .
Diferença de conjuntos
Definição Se e são conjuntos, então o complemento relativo de em relação a ., também conhecido como diferença de e ., é o conjunto de elementos de que não estão em .
A diferença de B para A é geralmente denotada . Às vezes é escrito , mas esta notação é ambígua, já que, em alguns contextos, pode ser interpretada como o conjunto de todos os elementos de , onde b é tomado a partir de B e a a partir de A.
Formalmente:
Exemplos .
.
Se é o conjunto de números reais e é o conjunto dos números racionais, então é o conjunto dos números irracionais.
Propriedades Sejam A, B e C três conjuntos. As seguintes identidades mostram propriedades importantes da diferença de conjuntos, que podem ser demonstradas com poucos passos usando a própria definição de diferença de conjuntos, junto com as Leis de De Morgan:
Com o caso especialmente importante de que demonstrando que a interseção pode ser expressa usando apenas a operação de diferença de conjuntos;
.
Complementar do conjunto
Definição Se é um conjunto, então o complementar de é o conjunto de elementos que não estão em . Em outras palavras, se é o universo que contém todos os conjuntos que estão sendo estudados no problema de modo que não é necessário mencioná-lo quando ele é óbvio e único, então o complementar de é a diferença entre os conjuntos e , sendo representado normalmente como: .
Formalmente:
Outras notações incluem , , , , e ..
Exemplos Assuma que o universo é o conjunto dos inteiros. Se é o conjunto dos números ímpares, então o complementar de é o conjunto de números pares. Se é o conjunto de múltiplos de 3, então o complementar de é o conjunto de números congruentes a 1 ou 2 módulo 3.
Assuma que o universo é um baralho padrão de 52 cartas. Se o conjunto é o naipe de espadas, então o complementar de é a união do naipe de copas, paus, e ouros.
Propriedades Sejam e dois conjuntos no universo . As seguintes identidades mostram propriedades importantes de complementares: Teoremas de De Morgan:
Leis de complementar:
Involução ou lei do duplo complementar:
Relações entre o complementar e a diferença de conjuntos:
As duas primeiras leis acima mostram que se é não-vazio, subconjunto próprio de , então } é uma partição de .
Notação em LaTeX
Na linguagem de diagramação de textos LaTeX, o comando \setminus The Comprehensive LaTeX Symbol List é normalmente o utilizado para representar o símbolo de diferença de conjuntos, similar ao comando backslash. Existe também um variante \smallsetminus disponível no pacote amssymb.
Complementar em várias linguagens de programação
Algumas linguagens de programação permitem a manipulação de conjuntos como estruturas de dados, usar estes operadores como função para construir a diferença entre dois conjuntos a e b:
.NET Framework a.Except(b);
C++ set_difference(a.begin(), a.end(), b.begin(), b.end(), result.begin());
Clojure (clojure.set/difference a b) clojure.set API reference
Common Lisp set-difference, nset-differenceCommon Lisp HyperSpec, Function set-difference, nset-difference. Accessed on September 8, 2009.
F# Set.difference a bSet.difference<'T> Function (F#). Accessed on July 12, 2015.
or
a - bSet.( - )<'T> Method (F#). Accessed on July 12, 2015.
Falcon diff = a - bArray subtraction, data structures. Accessed on July 28, 2014.
Haskell difference a b a \\ b
Java diff = a.clone(); diff.removeAll(b);Set (Java 2 Platform SE 5.0). JavaTM 2 Platform Standard Edition 5.0 API Specification, updated in 2004. Accessed on February 13, 2008.
Julia setdiff . The Standard Library--Julia Language documentation. Accessed on September 24, 2014
Mathematica ComplementComplement. Mathematica Documentation Center for version 6.0, updated in 2008. Accessed on March 7, 2008.
MATLAB setdiffSetdiff. MATLAB Function Reference for version 7.6, updated in 2008. Accessed on May 19, 2008.
OCaml Set.S.diffSet.S (OCaml).
Octave setdiff. GNU Octave Reference Manual
PARI/GP setminus
Pascal SetDifference := a - b;
Perl 5 # for perl version >= 5.10 @a = grep {not $_ ~~ @b} @a;
Perl 6 $A ∖ $B $A (-) $B # texas version
PHP array_diff($a, $b);PHP: array_diff, PHP Manual
Prolog a(X),\+ b(X).
Python diff = a.difference(b). Python v2.7.3 documentation. Accessed on January 17, 2013. diff = a - b
R setdiffR Reference manual p. 410.
Racket (set-subtract a b). The Racket Reference. Accessed on May 19, 2015.
Ruby diff = a - bClass: Array Ruby Documentation
Scala a.diff(b)scala.collection.Set. Scala Standard Library 2.11.7, Accessed on July 12, 2015.
or
a -- b
Smalltalk (Pharo) a difference: b
SQL SELECT * FROM A EXCEPT SELECT * FROM B
Unix shell comm -23 a bcomm(1), Unix Seventh Edition Manual, 1979.
Ver também
Conjunto Teoria ingênua dos conjuntos Diferença simétrica
Ligações externas
Categoria:Teoria dos conjuntos