Na teoria das categorias, um objeto exponencial é um objeto que representa o conjunto de morfismos entre dois objetos, de modo que generaliza a ideia de espaço funcional.
Definição Dados objetos numa categoria com todos os produtos binários, um objeto exponencial é um objeto junto a uma seta universal do functor ao objeto . Noutras palavras, para cada objeto e seta , existe única seta tal que .
Uma categoria é dita cartesiana fechada quando tem todos os produtos finitos (inclusive o objeto terminal) e cada dupla de objetos tem um correspondente objeto exponencial. Neste caso, há adjunção de duas variáveis em particular, estende-se a um functor .
Exemplos A categoria dos conjuntos é cartesiana fechada: é o conjunto de funções de a , e . A categoria dos módulos sobre um anel comutativo fixo não precisa ser cartesiana fechada, mas satisfaz uma condição similar na qual o produto é substituído pelo produto tensorial. (É então uma categoria monoidal fechada.) A categoria dos espaços de Hausdorff compactamente gerados é cartesiana fechada. (Um espaço topológico é dito compactamente gerado quando, para cada subconjunto cuja interseção com cada subconjunto compacto de é fechada, é fechado.)
Categoria localmente cartesiana fechada Uma categoria é dita ser localmente cartesiana fechada quando, para cada objeto de , a categoria é cartesiana fechada. (Aqui denota a categoria vírgula , isto é, a categoria cujos objetos são setas de contradomínio , e cujas setas são setas de tais que .)
Seja categoria localmente cartesiana fechada (em particular, admitindo produtos fibrados). Para cada morfismo de , existe functor dado por pullback; isto é, leva um morfismo
de ao morfismo
onde no diagrama
o quadrado inferior e o retângulo exterior são diagramas de produto fibrado.
Neste caso, existem duas adjunções
onde o functor é chamado de soma dependente e o functor é chamado de produto dependente. O functor é definido por composição com . No caso particular em que é objeto terminal de , caso em que é isomorfa a , o functor é dado por levar ao objeto , onde
é diagrama de produto fibrado, em que é transposta da identidade pela adjunção exponencial.
A origem dos nomes soma dependente e produto dependente pode ser explicada no caso particular . A categoria é equivalente à categoria de famílias de conjuntos indexadas por ; com efeito, uma função corresponde à família das pré-imagens , enquanto que uma família corresponde à projeção
do coproduto (união disjunta). Por meio dessa equivalência, torna-se functor de troca de índices, ; já e tornam-se os functores , ; estes são somas e produtos de membros da família, cujos índices dependem de .
Bibliografia
Categoria:Teoria das categorias