miniaturadaimagem| A quártica de Klein é um quociente da ordem triangular da ordem 7 . miniaturadaimagem| Dualmente, o quártico Klein é um quociente do ladrilho duplo, o ladrilho heptagonal da ordem 3 . Na geometria hiperbólica, a quártica de Klein (nomeado por Felix Klein) é uma superfície de Riemann compacta do gênero com o grupo de automorfismo de ordem mais alta possível para esse gênero, com ordem de automorfismos de preservação de orientação e automorfismos se a orientação puder ser revertida. Como tal, o quártico Klein é a superfície de Hurwitz do gênero mais baixo possível; veja o teorema dos automorfismos de Hurwitz. Seu grupo de automorfismo (preservação da orientação) é isomórfico ao PSL(2,7), o segundo menos grupo simples não-abeliano. O quártico foi primeiramente descrito em por Klein, em 1878.
O quártico de Klein ocorre em muitos ramos da matemática, em contextos que incluem a teoria das representações, a teoria da homologia, a multiplicação de octões, o último teorema de Fermat e o teorema de Stark-Heegner em campos numéricos quadráticos imaginários da classe número um; consulte para uma pesquisa de propriedades.
Originalmente, o "Klein quártico" a que se refere especificamente ao subconjunto do complexo plano projectiva definida por uma equação algébrica . Isso possui uma métrica riemanniana específica (que a torna uma superfície mínima em ), sob a qual sua curvatura gaussiana não é constante. Mas, mais comumente (como neste artigo), agora é entendida como qualquer superfície de Riemann que seja conformemente equivalente a essa curva algébrica, e especialmente a que é um quociente do plano hiperbólico de determinados cocompactos grupos , que age livremente no isometricamente. Isto dá o Klein quártico uma métrica Riemannianos de curvatura constante que herda a partir de Esse conjunto de superfícies Riemannianas conformemente equivalentes é exatamente o mesmo que todas as superfícies Riemannianas compactas do gênero 3, cujo grupo de automorfismo é isomórfico ao grupo simples e único da ordem 168. Esse grupo também é conhecido como e também como grupo isomórfico . Pela teoria do recobrimento, o grupo mencionado acima é isomórfico ao grupo fundamental da superfície compacta do gênero .
Formas fechadas e abertas É importante distinguir duas formas diferentes do quártico. O quártico fechado é o que geralmente se menciona em geometria; topologicamente, existe o gênero 3 e é um espaço compacto. O quártico aberto ou "perfurado" é de interesse na teoria dos números; topologicamente, é uma superfície do gênero 3 com 24 perfurações, e geometricamente essas perfurações são cúspides . O quártico aberto pode ser obtido (topologicamente) do quártico fechado, perfurando nos 24 centros do "telhado" por heptágonos regulares, como discutido abaixo. Os quânticos abertos e fechados têm métricas diferentes, embora sejam hiperbólicos e completos - geometricamente, as cúspides são "pontos no infinito", não buracos, portanto o quático aberto ainda está completo.
Como uma curva algébrica O quártico Klein pode ser visto como uma curva algébrica projetada sobre os números complexos , definidos pela seguinte equação quártica em coordenadas homogêneas em :
O locus de esta equação em é a superfície de Riemannian original que Klein descreveu.
Construção de álgebra de quaternião O quártico compacto de Klein pode ser construído como quociente do plano hiperbólico pela escolha de um grupo fuchsiano adequado que é o principal subgrupo de congruência associado ao ideal. no anel dos números inteiros algébricos do campo onde . Observe a identidade
exibindo como fator primo de 7 no anel de números inteiros algébricos.
O grupo é um subgrupo do grupo do triângulo hiperbólico (2,3,7) . Nomeadamente, é um subgrupo do grupo de elementos da norma de unidade na álgebra quaternária gerada como uma álgebra associativa pelos geradores e relações
Escolhe-se uma ordem de quaternião Hurwitz adequada na álgebra de quaternião, é então o grupo dos elementos da norma 1 em . O valor mínimo absoluto de um traço de um elemento hiperbólico em é , correspondendo ao valor de 3.936 para a sístole do quártico Klein, um dos mais altos deste gênero.
Revestimento miniaturadaimagem| O lado a lado do quártico pelos domínios de reflexão é um quociente do 3-7 kisrhombille . O quártico Klein admite revestimento ligados ao grupo de simetria (um " mapa regular " ), e estas são usadas na compreensão do grupo de simetria, que refere-se ao artigo original de Klein. Dado um domínio fundamental para a ação do grupo (para o grupo completo de simetria de inversão de orientação, um triângulo (2,3,7)), os domínios de reflexão (imagens desse domínio no grupo) fornecem um mosaico do quártico, de modo que o grupo automorfismo do ladrilho é igual ao grupo automorfismo da superfície - os reflexos nas linhas do ladrilho correspondem aos reflexos do grupo (os reflexos nas linhas de um dado triângulo fundamental fornecem um conjunto de três reflexões geradoras). Esse mosaico é um quociente do mosaico heptagonal dividido em ordem 3 do plano hiperbólico (a cobertura universal do quártico), e todas as superfícies de Hurwitz são lado a lado da mesma maneira que os quocientes.
Esse mosaico é uniforme, mas não regular (é por triângulos escalenos ) e, em geral, são usados inclinações regulares. Um quociente de qualquer lado a lado na família (2,3,7) pode ser usado (e terá o mesmo grupo de automorfismo); destes, as duas inclinações regulares são o lado a lado de 24 heptágonos hiperbólicos regulares, cada um do grau 3 (encontrando-se em 56 vértices), e o lado a lado duplo por 56 triângulos equiláteros, cada um do grau 7 (encontrando-se nos 24 vértices). A ordem do grupo automorfismo está relacionada, sendo o número de polígonos vezes o número de arestas no polígono nos dois casos.
24 × 7 = 168 56 × 3 = 168
As inclinações de cobertura no plano hiperbólico são as peças heptagonais da ordem 3 e as peças triangulares da ordem 7 .
O grupo automorfismo pode ser aumentado (por uma simetria que não é realizada por uma simetria da cobertura) para produzir o grupo Mathieu M 24 .
Correspondente a cada superfície da quártica (partição da variedade do quártico em subconjuntos) é um poliedro abstrato, que é abstraído da geometria e reflete apenas a combinatória do lado a lado (essa é uma maneira geral de obter um polítopo abstrato de um lado a lado) - os vértices, arestas e faces do poliedro são iguais em conjuntos aos vértices, arestas e faces do lado a lado, com as mesmas relações de incidência, e o grupo automorfismo (combinatório) do poliedro abstrato é igual ao grupo automorfismo (geométrico) do quártico. Dessa forma, a geometria se reduz a combinatória.
Quártico afim O que foi apresentado acima é um mosaico do quártico projetivo (um dos diversos fechado); o quártico afim possui 24 cúspides (topologicamente, punções), que correspondem aos 24 vértices do mosaico triangular regular ou equivalentemente aos centros dos 24 heptágonos no mosaico heptagonal, e podem ser realizados da seguinte forma.
Considerando-se a ação de no superior semi-plano modelo do plano hiperbólico por transformações Möbius, o quártico Klein afim pode ser realizado como o quociente (Aqui é o subgrupo de congruência do consiste em matrizes que são congruentes com a matriz de identidade quando todas as entradas são tomadas no módulo 7. )
Domínio fundamental e decomposição das calças O quártico de Klein pode ser obtido como quociente do plano hiperbólico pela ação de um grupo fuchsiano. O domínio fundamental é um tetradecágono(14) regular, que tem área pelo teorema de Gauss-Bonnet . Isso pode ser visto na figura ao lado, que também inclui os triângulos 336 (2,3,7) que pavimentam a superfície e geram seu grupo de simetrias. direita|miniaturadaimagem| O domínio fundamental do quártico de Klein. A superfície é obtida pela associação de lados com números iguais. Dentro do mosaico por (2,3,7) triângulos existe um mosaico por 24 heptágonos regulares. A sístole da superfície passa pelos pontos médios dos 8 lados do heptágono; por esse motivo, foi referido como "geodésico em oito etapas" na literatura e é o motivo do título do livro na seção abaixo. Todas as curvas coloridas na figura que mostram a decomposição das calças são sístoles, no entanto, este é apenas um subconjunto; existem 21 no total. O comprimento da sístole é dado por:
Uma fórmula fechada equivalente é
Enquanto o quártico Klein maximiza o grupo de simetria para superfícies do gênero 3, ele não maximiza o comprimento da sístole. O maximizador conjecturado é a superfície denominada "M3" . M3 vem de um mosaico de (2,3,12) triângulos e sua sístole tem multiplicidade 24 e comprimento
direita|miniaturadaimagem| Uma decomposição das calças do quártico Klein. A figura à esquerda mostra a geodésica de contorno no mosaico (2,3,7) do domínio fundamental. Na figura à direita, as calças foram coloridas de maneira diferente para deixar claro qual parte do domínio fundamental pertence a qual par de calças. O quártico de Klein pode ser decomposto em quatro pares de calças cortando ao longo de seis de suas sístoles. Essa decomposição fornece um conjunto simétrico de coordenadas de Fenchel-Nielsen, onde os parâmetros de comprimento são todos iguais ao comprimento da sístole e os parâmetros de torção são iguais a do comprimento da sístole. Em particular, tomar para ter o comprimento da sístole, as coordenadas são
O gráfico cúbico correspondente à decomposição dessa calça é o gráfico tetraédrico, ou seja, o gráfico de 4 nós, cada um conectado ao outros 3. O gráfico tetraédrico é semelhante ao gráfico para o plano Fano projetivo; de fato, o grupo automorfismo do quártico de Klein é isomórfico ao do plano de Fano.
Teoria espectral direita|miniaturadaimagem| As oito funções correspondentes ao primeiro autovalor positivo da quártica de Klein. As funções são zero ao longo das linhas azuis claras. Esses gráficos foram produzidos no FreeFEM ++ . Pouco foi provado sobre a teoria espectral da quártica de Klein, no entanto, foi conjeturado que ele maximiza o primeiro valor próprio positivo do operador Laplace entre todas as superfícies compactas de Riemann do gênero 3 com curvatura negativa constante. Essa conjectura deriva do fato de o quártico de Klein ter o maior grupo de superfícies de simetria de sua classe topológica, bem como a superfície de Bolza no gênero 2. Os autovalores do quartico de Klein foram calculados com diferentes graus de precisão. Os 15 primeiros autovalores positivos distintos são mostrados na tabela a seguir, juntamente com suas multiplicidades. + Cálculos numéricos dos 15 primeiros autovalores positivos do quártico de Klein Valor próprio Valor numérico Multiplicidade 0 0 1 2.67793 8 6.62251 7 10.8691 6 12.1844 8 17,2486 7 21.9705 7 24.0811 8 25.9276 6 30,8039 6 36,4555 8 37.4246 8 41.5131 6 44,8884 8 49.0429 6 50.6283 6
Modelos tridimensionais A quártica de Klein não pode ser realizado como uma figura tridimensional, no sentido de que nenhuma figura tridimensional possui simetrias (rotacionais) iguais a , uma vez que não é incorporado como um subgrupo de (ou ) - não possui uma representação linear tridimensional (não trivial) sobre os números reais.