Na matemática, os testes de convergência são métodos para confirmar e testar a convergência, convergência condicional, convergência absoluta, intervalo de convergência ou divergência de uma série infinita .
Lista de testes
Limite da soma Se o limite da soma for indefinido ou diferente de zero, isso é , então a série deve divergir. Nesse sentido, as somas parciais são de Cauchy apenas se esse limite existir e for igual a zero. O teste é inconclusivo se o limite da soma for zero.
Teste de razão Isso também é conhecido como critério de D'Alembert .
Suponha que existe de tal modo que
Se r <1, a série é absolutamente convergente. Se r > 1, então a série diverge. Se r = 1, o teste de razão é inconclusivo e as séries podem convergir.
Teste de raiz Este teste também é conhecido como o n-ésimo teste de raiz ou critério de Cauchy.
Seja:
Onde denota o limite superior (possivelmente ; se o limite existe, é o mesmo valor). Se r <1, a série converge. Se r > 1, então a série diverge. Se r = 1, o teste de raiz é inconclusivo e a série pode convergir ou divergir.
O teste de raiz é mais forte do que o teste de razão uma vez que sempre que o teste de razão determina a convergência ou divergência de uma série infinita, o teste de raiz também, mas não o contrário.
Por exemplo, para a série
1 + 1 + 0,5 + 0,5 + 0,25 + 0,25 + 0,125 + 0,125 + ... = 4
Vemos que a convergência decorre do teste de raiz, mas não do teste de razão.
Teste da integral A série pode ser comparada a uma integral para estabelecer convergência ou divergência. Considerando sendo uma função não negativa e monotonicamente decrescente, de modo que .
E se
então a série converge. De maneira análoga, se a integral diverge, a série também diverge. Em outras palavras, a série converge se e somente se a integral convergir.
Teste da comparação direta Se a série é uma série absolutamente convergente e para n suficientemente grande, então a série converge absolutamente.
Teste da comparação no limite Se , (ou seja, cada elemento das duas sequências é positivo) e o limite existe, é finito e diferente de zero, então diverge se e somente se diverge.
Teste de condensação de Cauchy Seja uma sequência positiva não crescente. Então a soma converge se e somente se a soma converge. Além disso, se eles convergirem, então é válida.
Teste de Abel Suponha que as seguintes afirmações sejam verdadeiras:
é uma série convergente, é uma sequência monotônica, e é limitado.
Então também é convergente.
Teste da série alternada Esse teste também é conhecido como o critério de Leibniz.
Suponha que os seguintes postulados:
, para cada n,
Então e são séries convergentes.
Notas
Para alguns tipos específicos de séries, existem testes de convergência mais especializados e adequados, como por exemplo, para as séries de Fourier, existe o teste de Dini .
Exemplos Considere a série
O teste de condensação de Cauchy implica que (*) é finitamente convergente se
é finitamente convergente. Uma vez que
(**) é uma série geométrica com razão . (**) é finitamente convergente se sua proporção for menor que um (a saber ) Assim, (*) é finitamente convergente se e somente se .
Convergência de produtos Embora a maioria dos testes lide com a convergência de séries infinitas, eles também podem ser usados para mostrar a convergência ou divergência de produtos infinitos. Isso pode ser alcançado usando o seguinte teorema: Considere como uma sequência de números positivos. Então o produto infinito converge se e somente se a série converge. Da mesma forma, se é válida então aproxima-se de um limite diferente de zero se e somente se a série converge.
Isso pode ser provado tomando o logaritmo do produto e usando o teste de comparação no limite.
Leitura adicional
Categoria:Testes de convergência