Na teoria das categorias, a extensão de Kan trata do problema de aproximar um functor por outro functor definido em outra categoria. O conceito recebe o nome de Daniel Kan, que começou a estudar casos particulares em 1958. Maiores aplicações da teoria de extensões de Kan surgiram na álgebra homológica, com o estudo de functores derivados.
Definição Sejam functores e . Uma extensão de Kan esquerda de ao longo de é um functor junto a um isomorfismo
natural em . Noutras palavras, existe transformação natural tal que, para qualquer functor e qualquer transformação natural , existe única transformação natural tal que .
Dualmente, uma extensão de Kan direita de ao longo de é um functor junto a um isomorfismo
natural em . Noutras palavras, existe transformação natural tal que, para qualquer functor e qualquer transformação natural , existe única transformação natural tal que .
Se todos os functores admitem extensão de Kan esquerda ao longo de , o functor admite adjunto esquerdo . Dualmente, se todos os functores admitem extensão de Kan direita ao longo de , o functor admite adjunto direito .
Exemplos Considere , , como a identidade e como a inclusão. (Toda pré-ordem pode ser considerada como uma categoria.) Então, a extensão de Kan esquerda de ao longo de é a função teto e a extensão de Kan direita de ao longo de é a função piso. Com efeito, se e , vale sse , e sse . Representações lineares de um grupo são functores de (categoria de um objeto e morfismos correspondentes aos elementos de ) à categoria dos espaços vetoriais sobre um corpo . Toda representação linear de subgrupo admite extensão de Kan esquerda (chamada representação induzida) e extensão de Kan direita (chamada representação coinduzida), ao longo da inclusão .
Fórmula para extensões de Kan Dados functores e , tem-se fórmula para a extensão de Kan esquerda (desde que o colimite abaixo exista):
onde denota uma categoria vírgula, e projeção na primeira componente.O lado direito é um functor em , logo a ação de nos morfismos é dada. Também, a transformação natural é definida a partir do cocone universal.
Dualmente, tem-se fórmula para a extensão de Kan direita (desde que o limite abaixo exista):
Alguns exemplos de aplicação da fórmula. Sejam , , a função , e a inclusão. Então, as extensões de Kan esquerda e direita de ao longo de coincidem, porque, para cada :
Dada categoria pequena , a categoria é a "cocompletação livre" de . Isto é, sendo a imersão de Yoneda, para cada categoria cocompleta , para cada functor , existe functor preservando colimites tal que , dado pela fórmula:onde denota a categoria de elementos de .
Extensão de Kan pontual Sejam functores e . Um functor é dito preservar uma extensão de Kan esquerda quando é uma extensão de Kan esquerda de ao longo de . Adjuntos esquerdos preservam todas as extensões de Kan esquerdas. Similarmente, adjuntos direitos preservam todas as extensões de Kan direitas.
Uma extensão de Kan direita é dita ser pontual quando é preservada pelo functor representável para cada . Já uma extensão de Kan esquerda é dita ser pontual quando é extensão de Kan direita pontual (do functor ao longo do functor ).
Uma extensão de Kan direita é pontual se e só se é dada pela fórmula em termos de limite da seção #Fórmula para extensões de Kan acima. Dualmente, uma extensão de Kan esquerda é pontual se e só se é dada pela fórmula em termos de colimite acima.
Aplicações A seguir, algumas situações nas quais extensões de Kan são usadas. Determinação de functores derivados em categorias homotópicas (que incluem os functores Ext e Tor). Identificação de functores (co)densos (a grosso modo, quando objetos são (co)limites de objetos de uma subcategoria dada). Estudo de mônades de codensidade, que generalizam mônades induzidas por adjunções.
Bibliografia
Categoria:Teoria das categorias