Em análise funcional, a topologia fraca em espaços vetoriais topológicos (como espaços de Banach) é a menor topologia que faz com que os funcionais lineares contínuos na topologia original permaneçam contínuos nessa nova topologia. Tendo menos abertos, terá mais compactos, o que pode simplificar algumas operações (como aquelas que envolvam maximizações de funções).
Definição Seja um espaço vetorial topológico (sobre corpo dos reais ou dos complexos); denote por sua topologia. Denote por o seu espaço dual, consistindo dos funcionais lineares contínuos em relação a no domínio. A topologia fraca no conjunto é a interseção de todas as topologias tais que todo é também contínuo em relação a no domínio.
Explicitamente, um subconjunto é aberto na topologia fraca se e só se, para cada , existem e tais que:
se é com para cada , então .
Propriedades Supõe-se que é espaço de Banach. (Há versões de alguns dos resultados para quando é espaço localmente convexo ou F-espaço.)
A topologia fraca de torna um espaço vetorial topológico Hausdorff (consequência do teorema de Hahn−Banach, em sua forma geométrica). Convergência de sequências na topologia fraca é o mesmo que convergência fraca: vale que fracamente se e só se, para cada , vale . Em particular, se uma sequência qualquer (ou até uma rede) converge na topologia original, então também converge na topologia fraca. Se tem dimensão finita, a topologia fraca é igual à topologia original. Todo subconjunto fechado (na topologia original) convexo de é também fechado na fraca (consequência do teorema de Hahn–Banach). Assim, a bola fechada é também fechada na fraca. Porém, se é espaço de Banach de dimensão infinita, a esfera não é fechada na fraca, e a bola aberta não é aberta na fraca. Isto porque, sendo de dimensão infinita, nenhuma interseção finita de hiperplanos fechados "caberá" na bola aberta. Se é subconjunto limitado na fraca (isto é, para cada a imagem é limitada), então é subconjunto limitado na original (isto é, limitado em norma). Se é linear entre espaços de Banach, é contínuo relativo às topologias originais se e só se é contínuo relativo às topologias fracas. Isto é consequência do teorema do gráfico fechado.
Topologia fraca estrela Há a topologia fraca no dual , e há outra menor ainda, a topologia fraca estrela, que é obtida considerando a preservação da continuidade de só os funcionais lineares dados por avaliação em pontos de .
Mais precisamente, é aberto na topologia fraca estrela se e só se, para cada , existem e tais que:
se é com para cada , então .
Assim, a topologia fraca estrela é a mesma que a topologia pontual.
Teoremas Para simplificar, seja um espaço de Banach.
O teorema de Banach–Alaoglu diz que a bola fechada de (o dual) é fracamente estrela compacta. Isto é consequência do teorema de Tychonoff. Se é separável (isto é, admite subconjunto denso enumerável), então a bola fechada de , na topologia fraca estrela, é metrizável. O teorema de Kakutani diz que é espaço reflexivo se e só se a bola fechada de é fracamente compacta. O teorema de Eberlein–Shmulyan diz que é reflexivo se e só se toda sequência limitada em admite subsequência fracamente convergente. O teorema de Schur diz que toda sequência fracamente convergente em converge na topologia original. (Mesmo assim, a topologia fraca é diferente da original, não sendo caracterizada por sequências.)
Topologias de operadores Em espaços de operadores lineares contínuos, é possível considerar várias topologias, dependendo das topologias do contradomínio. Uma delas é a topologia de operador fraca.
Bibliografia
Categoria:Análise funcional