Na análise matemática, a identidade de Parseval, em homenagem a Marc-Antoine Parseval, é um resultado fundamental na somatória da série de Fourier de uma função. Geometricamente, é um teorema de Pitágoras generalizado para espaços de produtos internos (que podem ter uma infinidade incontável de vetores de base). A identidade do Parseval também é chamada de teorema da energia ou teorema da energia de Rayleigh.
Informalmente, a identidade afirma que a soma dos quadrados dos coeficientes de Fourier de uma função é igual à integral do quadrado da função,
onde os coeficientes de Fourier de são dados por
Mais formalmente, o resultado é válido conforme declarado fornecido é uma função quadrada integrável ou, mais geralmente, no espaço Lp Um resultado semelhante é o teorema de Plancherel, que afirma que a integral do quadrado da transformada de Fourier de uma função é igual à integral do quadrado da própria função. Em uma dimensão, para
Definição
Seja um conjunto ortonormal de vetores em um espaço euclidiano de dimensão infinita, e seja um vetor qualquer nesse espaço. Temos que,
Essa expressão é a famosa igualdade de Parseval. A mesma expressão também pode ser usada indicando uma desigualdade, a chamada desigualdade de Bessel.
No caso das séries de Fourier, essa igualdade é dada por
Teorema Seja uma função diferenciável continuamente por partes em [-π,π], então seu desenvolvimento em serie de Fourier converge pontualmente em [-π,π] e assume em o valor
Note que ao escrevermos a série de Fourier da função na forma abaixo estamos implicando que a série converge em média para .
Entretanto, o teorema apresentado explicita as condições nas quais ocorre a convergência pontual. Ou seja, o desenvolvimento em série de Fourier de uma função entre [-π,π] diferenciável continuamente por partes converge para quando é um ponto de continuidade da função em questão.
Categoria:Análise matemática