Em matemática, e em particular em álgebra linear, a matriz inversa de Moore-Penrose de uma matriz é a generalização mais conhecida da matriz inversa. Ela foi descrita independentemente por EH Moore em 1920, Arne Bjerhammar em 1951 e Roger Penrose em 1955. Anteriormente, Erik Ivar Fredholm introduziu o conceito de pseudoinversa para operadores integrais em 1903. Ao se referir a uma matriz, o termo pseudoinversa, sem maiores especificações, é frequentemente usado para indicar a inversa de Moore-Penrose. O termo inversa generalizada às vezes é usado como sinônimo de pseudoinversa.
Um uso comum da pseudoinversa é o cálculo da solução de mínimos quadrados para um sistema de equações lineares que não possui solução. Outro uso é encontrar a solução de norma (euclidiana) mínima para um sistema de equações lineares com múltiplas soluções. A matriz pseudoinversa facilita o enunciado e a e a prova de resultados em álgebra linear.
A pseudoinversa é definida e única para todas as matrizes cujas entradas são números reais ou complexos. Pode ser determinada usando-se a decomposição de valores singulares. No caso especial em que é uma matriz normal (por exemplo, uma matriz Hermitiana), a pseudoinversa anula o núcleo de e atua como uma inversa tradicional de no subespaço ortogonal ao núcleo.
Notação Na discussão a seguir, as seguintes convenções são adotadas:
denota o corpo dos números reais () ou o cordos dos números complexos (). O espaço vetorial de matrizes sobre é denotado por . Para , sua transposta é denotada por e a transposta conjugada (também chamada de adjunta) é denotada por . Se , entãoo . Para , denota o espaço coluna (imagem) de (o espaço gerado pelos vetores colunas de ) e (ou ) denota o núcleo (espaço nulo) de . Para qualquer inteiro positivo , a matriz identidade de ordem é denotada por .
Definição Para , uma pseudoinversa de é definida como uma matriz satisfazendo todos os quatro critérios a seguir, conhecidos como condições de Moore-Penrose:
não precisa ser a matriz identidade, mas deve mapear todos os vetores colunas de em si mesmos: atua como uma inversa graca: é Hermitiana: também é Hermitiana:
A pseudoinversa existe para qualquer matriz . Se, além disso, tem posto completo, ou seja, seu posto é , então tem uma expressão algébrica particularmente simples.
Em particular, quando tem colunas linearmente independentes (equivalentemente, é injetiva e, portanto é invertível), pode ser calculado como
Esta pseudoinversa específica é uma inversa à esquerda, ou seja, . Se, por outro lado, tem linhas linearmente independentes (equivalentemente, é sobrejetiva e, portanto, é invertível), pode ser calculado como
Esta é uma inversa à direita, uma vez que .
No caso mais geral, a matriz pseudoinversa pode ser expressa usando-se a decomposição de valores singulares. Qualquer matriz pode ser decomposta como para algumas matrizes e matriz real positiva diagonal . A pseudoinversa pode então ser escrita como . Que esta matriz satisfaz o requisito acima é verificado diretamente observando que e , que são as projeções na imagem e suporte de
, respectivamente.
Propriedades Existência e unicidade Para qualquer matriz , existe uma, e somente uma pseudoinversa .
Uma matriz que satisfaz a primeira condição da definição é conhecida como inversa generalizada. Se a matriz também satisfaz a segunda definição, ela é chamada de inversa generalizada reflexiva. Inversas generalizadas sempre existem, mas em geral não são únicas. A unicidade é uma consequência dessas duas condições.
Propriedades básicas Se tem entradas reais, então também tem. Se é invertível, sua pseudoinversa é sua inversa, ou seja, .. A pseudoinversa de uma matriz nula é sua transposta, ou seja, . A pseudoinversa da pseudoinversa de é a própria matriz , ou seja, . Pseudoinversion commutes with transposition, conjugation, and taking the conjugate transpose: , , . A pseudoinversa de um múltiplo escalar de é o múltiplo inverso de , ou seja, for .
Identidades As seguintes identidades podem ser usadas para simplificar ou expandir expressões envolvendo pseudoinversas:
Exemplos
Como para matrizes invertíveis a pseudoinversa é igual à inversa usual, apenas exemplos de matrizes não invertíveis são apresentados abaixo.
Para a pseudoinversa é (De modo geral, a pseudoinversa de uma matriz nula é a sua transposta). A unicidade desta pseudoinversa pode ser vista a partir da condição , já que a multiplicação por uma matriz nual sempre produz uma matriz nula.
Para a pseudoinversa é De fato, e portanto Similarmente, e portanto
Para
Para (Os denominadores são .)
Para
Para a pseudoinversa é Observe que para esta matriz, a inversa à esquerda existe e, portanto, é igual . De fato,
Ver também Inversa de Drazin Método dos mínimos quadrados Elemento inverso
Bibliografia
Categoria:Teoria matricial Categoria:Teoria dos operadores Categoria:Decomposições matriciais Categoria:Álgebra linear numérica