Em matemática, uma função de contração, ou simplesmente contração ou contrator, em um espaço métrico (M, d) é uma função f de M para si mesma, com a propriedade de que existe algum número real tal que para todos os x e y em M,
O menor valor de k que satisfaz essa condição é chamado de constante de Lipschitz de f. Mapas contraídos são às vezes chamados de mapas Lipschitzianos. Se a condição acima for satisfeita para k ≤ 1, então o mapeamento é chamado de função não expansiva.
Em termos gerais, a ideia de um mapeamento contrativo pode ser definida para mapas entre espaços métricos. Assim, se (M, d) e (N, d''') são dois espaços métricos, então é um mapeamento contrativo se houver uma constante tal que
para x e y em M.
Todo mapeamento contraído é uma função Lipschitz contínua e, desse forma, uniformemente contínuo (para uma função Lipschitz contínua, a constante k nem sempre é necessariamente menor que 1).
Um mapeamento contrativo tem no máximo um ponto fixo. Além disso, o Teorema do ponto fixo de Banach afirma que todo mapeamento contrativo em um espaço métrico completo não vazio tem um ponto fixo único, e que para qualquer x em M a sequência de função iterada x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), ... converge para o ponto fixo. Esse conceito é muito útil para sistemas de funções iterativas onde mapeamentos contrativos são frequentemente utilizados. O teorema do ponto fixo de Banach também é aplicado para provar a existência de soluções de equações diferenciais ordinárias, e é usado em uma prova do teorema da função inversa.
Mapeamentos contrativos desempenham um papel importante em problemas de programação dinâmica.
Mapeamento firmemente não expansivo Um mapeamento não expansivo com pode ser generalizado para um mapeamento firmemente não expansivo em um espaço de Hilbert se o seguinte valer para todos os x e y em :
em que .
Esse é um caso especial de operadores não expansivos médios com . Um mapeamento firmemente não expansivo é sempre não expansivo, via a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
A classe de mapas firmemente não expansivos é fechada sob combinação convexa, mas não sob composições. Essa classe inclui mapeamentos proximais de funções próprias, convexas e semicontínuas inferiores, portanto, também inclui projeção ortogonal em conjuntos convexos fechados não vazios. A classe de operadores firmemente não expansivos é igual ao conjunto de resolventes de operadores maximalmente monotônicos. Surpreendentemente, enquanto iterar mapas não expansivos não tem garantia de encontrar um ponto fixo (por exemplo, multiplicação por -1), uma firme não-expansividade é suficiente para garantir convergência global para um ponto fixo, desde que um ponto fixo exista. Mais precisamente, se , então para qualquer ponto inicial , ao iterar
resulta em convergência para um ponto fixo . Essa convergência pode ser fraca em um ambiente de dimensão infinita.
Mapa de subcontração Um mapa de subcontração ou subcontratante é um mapa f em um espaço métrico (M, d) tal que
Se a imagem de um subcontratante f for compacta, então f tem um ponto fixo.
Espaços localmente convexos Em um espaço localmente convexo (E, P) com topologia dada por um conjunto P de seminormas, pode ser definido para qualquer p ∈ P um p-contrativo como um mapa f tal que haja algum kp < 1 tal que ≤ . Se f for um p-contrativo para todos p ∈ P e (E, P) for sequencialmente completo, então f tem um ponto fixo, dado como limite de qualquer sequência xn+1 = f(xn), e se (E, P'') for Hausdorff, então o ponto fixo é único.
Ver também
Função não expansiva Função identidade Transformação geométrica Função afim
Referências
Leitura adicional
fornece uma introdução em nível de graduação.
Categoria:Geometria métrica Categoria:Teoremas de ponto fixo Categoria:Teoremas em geometria Categoria:Teoremas de matemática