Cálculo fraccional de conjuntos

O Cálculo Fraccional de Conjuntos (Fractional Calculus of Sets (FCS)), mencionado pela primeira vez no artigo intitulado "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods",Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods é uma metodologia derivada do Cálculo Fraccional.Applications of fractional calculus in physics O conceito principal por trás do FCS é a caracterização dos elementos do cálculo fraccional usando conjuntos devido à grande quantidade de operadores fraccionales disponíveis.A review of definitions for fractional derivatives and integralA review of definitions of fractional derivatives and other operatorsHow many fractional derivatives are there? Essa metodologia surgiu a partir do desenvolvimento do método de Newton-Raphson FraccionalFractional Newton-Raphson Method e trabalhos relacionados subsequentes.Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receiversCode of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programmingSets of Fractional Operators and Some of Their Applications

Conjunto de Operadores Fraccionales

O cálculo fraccional, um ramo da matemática que lida com derivadas de ordem não inteira, surgiu quase simultaneamente com o cálculo tradicional. Esse surgimento foi em parte devido à notação de Leibniz para derivadas de ordem inteira: . Graças a essa notação, L’Hopital pôde perguntar em uma carta a Leibniz sobre a interpretação de tomar em uma derivada. Naquela época, Leibniz não conseguiu fornecer uma interpretação física ou geométrica para essa pergunta, então simplesmente respondeu a L’Hopital em uma carta que "... é uma aparente paradoxo do qual, algum dia, surgirão consequências úteis".

O nome "cálculo fraccional" origina-se de uma pergunta histórica, já que este ramo da análise matemática estuda derivadas e integrais de uma certa ordem . Atualmente, o cálculo fraccional carece de uma definição unificada do que constitui uma derivada fraccional. Consequentemente, quando não é necessário especificar explicitamente a forma de uma derivada fraccional, tipicamente é denotada da seguinte forma:

Os operadores fraccionales têm várias representações, mas uma de suas propriedades fundamentais é que recuperam os resultados do cálculo tradicional à medida que . Considerando uma função escalar e a base canônica de denotada por , o seguinte operador fraccional de ordem é definido usando a notação de Einstein:Einstein summation for multidimensional arrays

Denotando como a derivada parcial de ordem com respeito ao componente -ésimo do vetor , define-se o seguinte conjunto de operadores fraccionales:

cujo complemento é:

Como consequência, define-se o seguinte conjunto:

Extensão para Funções Vetoriais

Para uma função , o conjunto é definido como:

onde denota o -ésimo componente da função .

Conjunto de Operadores Fraccionales

O conjunto de operadores fraccionales considerando ordens infinitas é definido como:

onde sob o produto de Hadamard The hadamard product clássico temos que:

Operadores Matriciais Fraccionales

Para cada operador , o operador matricial fraccional é definido como:

e para cada operador , pode-se definir a seguinte matriz, correspondente a uma generalização da matriz Jacobiana:Jacobians of matrix transformation and functions of matrix arguments

onde .

Produto de Hadamard Modificado

Considerando que, em geral, , define-se o seguinte produto de Hadamard modificado:

com o qual se obtém o seguinte teorema:

Teorema: Grupo Abeliano de Operadores Matriciais Fraccionales

Seja um operador fraccional tal que . Considerando o produto de Hadamard modificado, define-se o seguinte conjunto de operadores matriciais fraccionales:

que corresponde ao grupo Abeliano Abelian groups gerado pelo operador .

Demonstração

Dado que o conjunto na equação (1) é definido aplicando apenas o produto de Hadamard tipo vertical entre seus elementos, para todos tem-se que:

com o qual é possível demonstrar que o conjunto (1) satisfaz as seguintes propriedades de um grupo Abeliano:

Conjunto de Operadores Fraccionales

Seja o conjunto . Se e , então é possível definir a seguinte notação multi-índice:

Então, considerando uma função e o operador fraccional:

define-se o seguinte conjunto de operadores fraccionales:

De onde se obtêm os seguintes resultados:

Como consequência, considerando uma função , define-se o seguinte conjunto de operadores fraccionales:

Conjunto de Operadores Fraccionales

Considerando uma função e o seguinte conjunto de operadores fraccionales:

Então, tomando uma bola , é possível definir o seguinte conjunto de operadores fraccionales:

o qual permite generalizar a expansão em série de Taylor de uma função vetorial em notação multi-índice. Como consequência, é possível obter o seguinte resultado:

Método de Newton-Raphson Fraccional

Seja uma função com um ponto tal que . Então, para algum e um operador fraccional , é possível definir um tipo de aproximação linear da função ao redor de da seguinte maneira:

o que pode ser expresso de forma mais compacta como:

onde denota uma matriz quadrada. Por outro lado, se e dado que , infere-se o seguinte:

Como consequência, definindo a matriz:

é possível definir o seguinte método iterativo fraccional:

que corresponde ao caso mais geral do método de Newton-Raphson fraccional.

O uso de operadores fraccionales em métodos de ponto fixo tem sido amplamente estudado e citado em várias fontes acadêmicas. Exemplos disso podem ser encontrados em vários artigos publicados em revistas renomadas, como os apresentados em ScienceDirect , , Springer , World Scientific , e MDPI , , , , , , , . Estudos também estão incluídos de Taylor & Francis (Tandfonline) , Cubo , Revista Mexicana de Ciencias Agrícolas , Journal of Research and Creativity , MQR , e Актуальные вопросы науки и техники . Estes trabalhos destacam a relevância e aplicabilidade dos operadores fraccionales na solução de problemas.

Bibliografia

Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F. Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods. Fractal Fract. 2021, 5, 240. DOI: 10.3390/fractalfract5040240

Oliveira, E.C.D.; Machado, J.A.T. A review of definitions for fractional derivatives and integral. Math. Probl. Eng. 2014, 2014, 238459. DOI: 10.1155/2014/238459

Teodoro, G.S.; Machado, J.A.T.; Oliveira, E.C.D. A review of definitions of fractional derivatives and other operators. J. Comput. Phys. 2019, 388, 195–208. DOI: 10.1016/j.jcp.2019.03.008

Valério, D.; Ortigueira, M.D.; Lopes, A.M. How many fractional derivatives are there? Mathematics 2022, 10, 737. DOI: 10.3390/math10050737

Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F. Fractional Newton-Raphson Method. Appl. Math. Sci. Int. J. (MathSJ) 2021, 8, 1–13. DOI: 10.5121/mathsj.2021.8101

Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F.; Montufar-Chaveznava, R. Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receivers. Applied Mathematics and Computation 2022, Volume 429, 127231. DOI: 10.1016/j.amc.2022.127231

Torres-Hernandez, A. Code of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programming. Appl. Math. Sci. Int. J. (MathSJ) 2022, 9, 17–24. DOI: 10.5121/mathsj.2022.9103

Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F.; Ramirez-Melendez, R. Sets of Fractional Operators and Some of Their Applications. Em Operator Theory, IntechOpen, 2022. DOI: 10.5772/intechopen.107263

Shams, M.; Kausar, N.; Agarwal, P.; Jain, S. Fuzzy fractional Caputo-type numerical scheme for solving fuzzy nonlinear equations. Fractional Differential Equations 2024, 167–175. DOI: 10.1016/B978-0-44-315423-2.00016-3

Shams, M.; Kausar, N.; Agarwal, P.; Edalatpanah, S.A. Fractional Caputo-type simultaneous scheme for finding all polynomial roots. Recent Trends in Fractional Calculus and Its Applications 2024, 261–272. DOI: 10.1016/B978-0-44-318505-2.00021-0

Al-Nadhari, A.M.; Abderrahmani, S.; Hamadi, D.; Legouirah, M. The efficient geometrical nonlinear analysis method for civil engineering structures. Asian Journal of Civil Engineering 2024, 25(4), 3565–3573. DOI: 10.1007/s42107-024-00996-z

Shams, M.; Kausar, N.; Samaniego, C.; Agarwal, P.; Ahmed, S.F.; Momani, S. On efficient fractional Caputo-type simultaneous scheme for finding all roots of polynomial equations with biomedical engineering applications. Fractals 2023, 31(04), 2340075. DOI: 10.1142/S0218348X23400753

Wang, X.; Jin, Y.; Zhao, Y. Derivative-free iterative methods with some Kurchatov-type accelerating parameters for solving nonlinear systems. Symmetry 2021, 13(6), 943. DOI: 10.3390/sym13060943

Tverdyi, D.; Parovik, R. Investigation of Finite-Difference Schemes for the Numerical Solution of a Fractional Nonlinear Equation. Fractal and Fractional 2021, 6(1), 23. DOI: 10.3390/fractalfract6010023

Tverdyi, D.; Parovik, R. Application of the fractional Riccati equation for mathematical modeling of dynamic processes with saturation and memory effect. Fractal and Fractional 2022, 6(3), 163. DOI: 10.3390/fractalfract6030163

Srivastava, H.M. Editorial for the Special Issue “Operators of Fractional Calculus and Their Multidisciplinary Applications”. Fractal and Fractional 2023, 7(5), 415. DOI: 10.3390/fractalfract7050415

Shams, M.; Carpentieri, B. Efficient inverse fractional neural network-based simultaneous schemes for nonlinear engineering applications. Fractal and Fractional 2023, 7(12), 849. DOI: 10.3390/fractalfract7120849

Candelario, G.; Cordero, A.; Torregrosa, J.R.; Vassileva, M.P. Solving Nonlinear Transcendental Equations by Iterative Methods with Conformable Derivatives: A General Approach. Mathematics 2023, 11(11), 2568. DOI: 10.3390/math11112568

Shams, M.; Carpentieri, B. On highly efficient fractional numerical method for solving nonlinear engineering models. Mathematics 2023, 11(24), 4914. DOI: 10.3390/math11244914

Martínez, F.; Kaabar, M.K.A.; Martínez, I. Novel Results on Legendre Polynomials in the Sense of a Generalized Fractional Derivative. Mathematical and Computational Applications 2024, 29(4), 54. DOI: 10.3390/mca29040054

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