miniaturadaimagem|Giuseppe Peano no século XIX Em lógica matemática, os axiomas de Peano, também conhecidos como os axiomas de Dedekind-Peano ou postulados de Peano, são um conjunto de axiomas para os números naturais apresentado pelo matemático italiano do século XIX Giuseppe Peano. Esses axiomas vêm sendo utilizados praticamente sem modificações em diversas investigações metamatemáticas, incluindo pesquisas em questões fundamentais de consistência e completude da teoria dos números.
A necessidade do formalismo na Aritmética não era apreciada até o trabalho de Hermann Grassmann, que mostrou na década de 1860 que muitos fatos da aritmética poderiam ser derivados de fatos mais básicos sobre operação de sucessor e indução. Em 1881, Charles Sanders Peirce mostrou uma forma de axiomatização da aritmética de números naturais., Em 1888, Richard Dedekind propôs uma coleção de axiomas sobre os números, e em 1889 Peano publicou uma versão mais precisamente formulada das anteriores, em uma coleção de axiomas no seu livro, "Os princípios da Aritmética apresentados por um novo método" (Em Latim: Arithmetices principia, nova methodo exposita).
Os axiomas de Peano contêm três tipos de declarações. O primeiro axioma afirma a existência de pelo menos um membro no conjunto "números". As quatro seguintes são afirmações gerais a respeito de igualdade; em tratamentos modernos, estes geralmente não são tomados como parte dos axiomas de Peano, mas sim como axiomas da "lógica subjacente". Os próximos três axiomas são declarações da Lógica de primeira ordem sobre números naturais expressando as propriedades fundamentais da operação de sucessor. O nono e último axioma, é uma declaração da lógica de segunda ordem do princípio da indução matemática sobre os números naturais. Um sistema de primeira ordem mais "fraco" chamado aritmética de Peano é obtido ao adicionar os símbolos de adição e multiplicação e substituir o axioma de indução em segunda ordem por um esquema axiomático de primeira ordem.
Os axiomas Quando Peano formulou seus axiomas, a linguagem de lógica matemática ainda era nova. O sistema de notação lógica por ele criado para a apresentação de seus axiomas não se mostrou popular, apesar de ser a gênese da notação moderna de pertinência (∈, derivado do ε utilizado por Peano) e implicação (⊃, derivado do 'C' invertido de Peano). Peano manteve uma distinção clara entre a simbologia lógica e a matemática, o que não era ainda comum na matemática; tal separação foi introduzida pela primeira vez no Begriffsschrift, de Gottlob Frege, publicado em 1879. Peano desconhecia o trabalho de Frege e independentemente recriara suas técnicas lógicas se baseando nos trabalhos de Boole e Schröder.
Os axiomas de Peano definem as propriedades aritméticas de números naturais, geralmente representadas como o conjunto N ou A assinatura (os símbolos não-lógicos de uma linguagem formal) para os axiomas incluem o símbolo de constante 0 e o símbolo de função unária S.
A constante 0 é considerada um número natural:
0 é um número natural.
Os 4 próximos axiomas descrevem a relação de igualdade.
Para todo natural x, x = x. Isto é, a igualdade é reflexiva. Para todos os números naturais x e y, se x = y, então y = x. Isto é, a igualdade é simétrica. Para todos os números naturais x, y, e z, se x = y e y = z, então x = z. Ou seja, a igualdade é transitiva. Para todos a e b, se a for um número natural e a = b, então b também é um número natural. Isto é, os números naturais são fechados em sua igualdade.
Os axiomas restantes definem as propriedades aritméticas dos números naturais. Os naturais são fechados sob a função unária de sucessor S. Para todo número natural n, S(n) é um número natural.
As formulações originais dos axiomas de Peano utilizavam o 1 como "primeiro" número natural, ao invés do 0. A escolha é arbitrária, uma vez que o primeiro axioma não concede à constante 0 nenhuma propriedade adicional. No entanto, como 0 é o elemento neutro, a maioria das interpretações modernas dos axiomas de Peano se inicia no 0. Os axiomas 1 e 6 definem uma representação unária dos números naturais: o número 1 pode ser definido como S(0), 2 como S(S(0)) (que também é S(1)) e, no geral, qualquer número natural n como Sn(0). Os dois próximos axiomas definem as propriedades dessa representação. Para todo número natural n, S(n) = 0 é falso. Isto é, não há nenhum número natural cujo sucessor seja 0. Para todos os números naturais m e n, se S(m) = S(n), então m = n. Ou seja, S é uma função injetora.
Os axiomas 1, 6 e 7 implicam que o conjunto de números naturais contém os elementos distintos 0, S(0), S(S(0)), e assim por diante; em outras palavras, é informalmente conhecido o fato de que {0, S(0), S(S(0)), …} ⊆ N, de modo que qualquer elemento buscado está contido em N. (Também se sabe que o conjunto dos naturais é infinito, porque contém um subconjunto infinito.) Para mostrar que N = {0, S(0), S(S(0)), …}, deve ser mostrado que N ⊆ {0, S(0), S(S(0)), ...}; ou seja, é necessário ser mostrado que todo número natural está incluso em {0, S(0), S(S(0)), ...}, de modo que o conjunto de números naturais não possua nenhum elemento "indesejado" (por exemplo o decimal 1.7). Para que isso seja feito, no entanto, é necessário mais um axioma, também chamado de axioma da indução. Este axioma gera um método para a racionalização do conjunto de todos os números naturais. Se K é um conjunto tal que: 0 pertence a K, e para todo natural n, se n pertence a K, então S(n) pertence a K,então K contém todos os números naturais. O axioma da indução é, às vezes, proposto da seguinte maneira: Se φ é um predicado unário tal que: φ(0) é verdade, e para todo número natural n, se φ(n) é verdadeiro, então φ(S(n)) também o é,então φ(n) é verdadeiro para todo número natural n. Na concepção original de Peano, o axioma da indução é um axioma de segunda-ordem. Atualmente, é comum substituir esse princípio de segunda-ordem por um esquema de indução de primeira-ordem mais fraco. Há importantes diferenças entre formulações de primeira-ordem e segunda-ordem, como discutido nos modelos abaixo. Sem o axioma da indução, os axiomas restantes de Peano geram uma teoria de uma função unária injetora mas não sobrejetora, que pode ser expressa sem lógica de segunda-ordem.
Aritmética Os axiomas de Peano podem ser expandidos com as operações de soma e multiplicação e a relação de ordem em N. As respectivas funções e relações são construídas em lógica de segunda-ordem, e são únicas ao se usar os axiomas de Peano.
Adição Adição é a função + : N × N → N, definida recursivamente como:
Por exemplo, a + 1 = a + S(0) = S(a + 0) = S(a). A estrutura (N, +) é um semigrupo comutativo (a ordem das operações não influi no resultado final) com elemento identidade 0. (N, +) é também sujeito à cancelamento (a + x = x + y implica que a = y, depois do cancelamento de x), e pode, por isso, ser contido em um grupo. O menor grupo que contém N é o dos inteiros.
Multiplicação Dada a adição, multiplicação é a função definida recursivamente como:
É fácil observar que a atribuição do valor 0 a b carrega em si a identidade multiplicativa: a · 1 = a · S(0) = a + (a · 0) = a + 0 = a Além disso, multiplicação pode ser distribuída sobre a adição: a · (b + c) = (a · b) + (a · c). Assim, (N, +, 0, ·, 1) é um semi-anel.
Desigualdades A relação de ordem total ≤ : N × N pode ser definida deste modo, assumindo que 0 é um número natural: Para todo a, b ∈ N, a ≤ b se e somente se existe algum c ∈ N de modo que a + c = b. Essa relação se mantém constante sob adição e multiplicação: para a, b, c ∈ N, se a ≤ b, então: a + c ≤ b + c, e a · c ≤ b · c. Desse modo, a estrutura (N, +, ·, 1, 0, ≤) é um semi-anel ordenado; como não há número natural entre 0 e 1, é um semi-anel discretamente ordenado. O axioma da indução pode ser proposto da seguinte maneira, mais robusta, fazendo uso da ordem ≤: Para qualquer predicado φ, se φ(0) é verdadeiro, e para todo n, k ∈ N, se k ≤ n implica que φ(k) é verdadeiro, então φ(S(n)) é verdade, então para todo n ∈ N, φ(n) é verdadeiro. Este formato do axioma da indução é uma consequência simples da formulação padrão, mas é frequentemente mais adequada para a representação sobre a ordem ≤. Por exemplo, para mostrar que os naturais são bem-ordenados - todo subconjunto não-vazio de N possui um elemento menor - pode-se usar o seguinte argumento. Deixe que um não-vazio X ⊆ N seja dado e assuma que X não possui menor elemento. Como 0 é o menor elemento de N, então temos que O ∉ X. Para qualquer n ∈ N, assuma que para todo k ≤ n, k ∉ X. Então S(n) ∉ X, senão o mesmo seria o menor elemento de X. Desse modo, pelo forte princípio da indução, para todo n ∈ N, n ∉ X. Assim, X ∩ N = ∅, o que contradiz a noção de X ser um subconjunto não-vazio de N. Seguindo a argumentação, X possui um menor elemento.
Modelos Um modelo dos axiomas de Peano é triplo (N, 0, S), onde N é um conjunto infinito, 0 ∈ N e S : N → N satisfazem os axiomas acima. Dedekind provou, em seu livro de 1888, Was sind und was sollen die Zahlen ("O que são e o que deveriam ser os números"), que quaisquer dois modelos dos axiomas de Peano (incluindo o axioma da indução de segunda-ordem) são isomórficos. Em particular, dados os dois modelos (NA, 0A, SA) e (NB, 0B, SB), há um homomorfismo único f : NA → NB que satisfaz
e é uma bijeção. Os axiomas de segunda-ordem de Peano são então categóricos; este não é o caso com qualquer reformulação dos axiomas de Peano em primeira-ordem, no entanto.
Teoria da aritmética de primeira-ordem Teorias de primeira-ordem são comumente melhores que os de segunda-ordem para a análise teorética de provas e modelos. Todos os axiomas de Peano, exceto o nono (o axioma de indução) são afirmações em lógica de primeira-ordem. As operações aritméticas de adição e multiplicação e a relação de ordem também podem ser definidas usando axiomas de primeira-ordem. O axioma da indução de segunda-ordem pode ser transformado em um esquema indutivo de primeira-ordem mais fraco.
Axiomatizações de primeira-ordem da aritmética de Peano possuem uma limitação importante, no entanto. Em lógica de segunda-ordem, é possível definir as operações de adição e multiplicação a partir da operação sucessor, mas isso não pode ser realizado na forma menos abrangente da lógica de primeira-ordem. Consequentemente, as operações de adição e multiplicação são diretamente inclusas na assinatura da aritmética de Peano, e os axiomas que relacionam estas operações umas às outras também estão inclusos.
A lista a seguir de axiomas (junto com os axiomas de igualdade) é suficiente para este propósito:
Em adição à esta lista de axiomas numéricos, a aritmética de Peano contém o esquema de indução, que consiste em um conjunto de axiomas contavelmente infinito. Para cada fórmula φ(x,y1,...,yk) na linguagem de aritmética de Peano, o axioma da indução de primeira-ordem para φ é a sentença
onde é uma abreviação de y1,...,yk. O esquema de indução de primeira-ordem inclui todos os casos do axioma de indução de primeira-ordem, isto é, inclui o axioma de indução para toda fórmula φ.
Este esquema evita quantificação sobre conjuntos de números naturais, o que é impossível em lógica de primeira-ordem. Por exemplo, não é possível se dizer, em lógica de primeira-ordem, que qualquer conjunto de números naturais contendo 0 e fechado sob o sucessor é o conjunto inteiro dos naturais. O que pode ser expresso é que qualquer conjunto definível de números naturais possui esta propriedade. Como não é possível quantificar sobre subconjuntos definíveis explicitamente com apenas um axioma, o esquema de indução inclui um caso do axioma de indução para cada definição de um subconjunto dos naturais.
Axiomatizações equivalentes