Em álgebra abstrata, álgebras boolianas (ou álgebras de Boole) são estruturas algébricas que "captam as propriedades essenciais" dos operadores lógicos e de conjuntos, ou ainda oferecem uma estrutura para se lidar com "afirmações",Edward R. Scheinerman. Matemática Discreta - Uma Introdução. Cengage Learning Editores; 2003. ISBN 978-85-221-0291-4. p. 27. são assim denominadas em homenagem ao matemático George Boole.Seymour Lipschutz; Marc Lipson. Matemática Discreta: Coleção Schaum. Bookman; 2004. ISBN 978-85-363-0361-1. p. 454.
História
O termo "álgebra booliana" é uma homenagem a George Boole, um matemático inglês autodidata. Boole introduziu o sistema algébrico, inicialmente, em um pequeno panfleto, o The Mathematical Analysis of Logic, publicado em 1847, em resposta a uma controvérsia em curso entre Augustus De Morgan e William Hamilton, e mais tarde como um livro mais substancial, The Laws of Thought, publicado em 1854. A formulação de Boole difere das descritas acima em alguns aspectos importantes. Por exemplo, a conjunção e a disjunção em Boole não era um duplo par de operações. A álgebra booliana surgiu na década de 1860, em artigos escritos por William Jevons e Charles Sanders Peirce.Hélio Augusto Godoy de Souza. Documentario, Realidade E Semiose. Annablume; 2002. ISBN 978-85-7419-224-6. p. 198. A primeira apresentação sistemática de álgebra booliana e reticulados distributivos é devido ao 1890 Vorlesungen de Ernst Schröder . O primeiro tratamento extensivo de álgebra booliana em inglês foi em 1898 na Universal Algebra de Whitehead.CAIO AUGUSTUS MORAIS BOLZANI. Residências Inteligentes. Editora Livraria da Fisica; 2004. ISBN 978-85-88325-25-8. p. 45.Linda Null; Julia Lobur. Princípios Básicos de Arquitetura e Organização de Computadores. Bookman; ISBN 978-85-7780-766-6. p. 140.
Definição Uma álgebra booliana é uma 6-upla consistindo de um conjunto munido de duas operações binárias (também denotado por , é geralmente chamado de "ou") e (também denotado por ou por , é geralmente chamado de "e"), uma operação unária (também denotada por ou por uma barra superior, é geralmente chamado de "não"), e duas constantes (também denotada por ou por , geralmente chamado de "zero" ou de "falso") e (também denotada por ou por , geralmente chamado de "um" ou de "verdadeiro"), e satisfazendo os seguintes axiomas, para quaisquer :
Propriedades Associativas Propriedades Comutativas Propriedades Absortivas Propriedades Distributivas Elementos Neutros Elementos Complementares
Alguns autores também incluem a propriedade , para evitar a álgebra booliana com somente um elemento.
Exemplos O exemplo mais simples de álgebra booliana com mais de um elemento é o conjunto munido das seguintes operações:
Um outro exemplo de álgebra booliana é o conjunto (o elemento é geralmente chamado de "desconhecido" ou de "talvez") munido das seguintes operações:
Dado um conjunto , o conjunto das partes de munido das operações , , , e onde e , é uma álgebra booliana.
O intervalo munido das operações , , e , é uma álgebra booliana. Essa álgebra booliana recebe o nome de lógica fuzzy.
Teoremas Dado uma álgebra booliana sobre , são válidos para quaisquer :
Propriedades Idempotentes
Dupla Negação
Leis de De Morgan
Leis de Absorção
Elementos Absorventes
Negações do Zero e do Um
Definições alternativas da operação binária (também denotado por , é geralmente chamado de "xor" ou de "ou exclusivo")
Ordem Dado uma álgebra booliana sobre , é válido para quaisquer : se e somente se
A relação definida como se e somente se uma das duas condições equivalentes acima é satisfeita é uma relação de ordem em . O supremo e o ínfimo do conjunto são e , respectivamente.
Homomorfismos e isomorfismos Um homomorfismo entre duas álgebras boolianas e é uma função que para quaisquer :
Uma consequência é que .
Um isomorfismo entre duas álgebras boolianas e é um homomorfismo bijetor entre e . O inverso de um isomorfismo é um isomorfismo. Se existe um isomorfismo entre e , dizemos que e são isomorfos.
Ver também Reticulado Ultrafiltro Princípio do terceiro excluído Números binários Lógica binária Tabela verdade Função booliana Circuito digital Forma canónica Sistema formal Mapa de Karnaugh Diagrama de Venn
Categoria:Álgebra booliana Categoria:Síntese lógica Categoria:Ciência da computação Categoria:Circuitos digitais Categoria:Tecnologia da informação