Teorema Kronecker–Capelli este criteriul fundamental de compatibilitate pentru un sistem finit de ecuații liniare. În formularea sa clasică, teorema afirmă că un sistem este compatibil dacă și numai dacă rangul matricei coeficienților este egal cu rangul matricei extinse. Prin urmare, teorema separă sistemele incompatibile de cele compatibile și, în interiorul clasei sistemelor compatibile, permite distingerea între sistemele compatibile determinate și cele compatibile nedeterminate. În algebra liniară, ea se folosește împreună cu metoda eliminării Gauss, cu reducerea matricilor prin operații elementare pe linii și cu interpretarea geometrică a sistemelor de două sau trei necunoscute.Gabriel Bercu, Leonard Dăuș, Daniela Roșu, Marius Vlădoiu, Cristian Voica, Algebră liniară, geometrie analitică, geometrie diferenţială şi elemente de algebră tensorială. Vol. I: Algebră liniară, Editura StudIS, Vatra Dornei, 2013, pp. 61–62C. O. Târniceriu, Algebră liniară, geometrie analitică și diferențială. Curs I-II. Matrice și determinanți. Sisteme de ecuații liniare. Spații vectoriale. Definiții, exemple și proprietăți generale. Dependență liniară, independență liniară și baze într-un K-spațiu, suport de curs online, Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iași, pp. 38–41
Enunț (definiție) Fie un sistem liniar de forma , cu matricea coeficienților și matricea extinsă
Teorema Kronecker–Capelli afirmă că sistemul este compatibil dacă și numai dacă .
Dacă egalitatea nu are loc, atunci sistemul este incompatibil, iar mulțimea soluțiilor este mulțimea vidă, notată cu ∅. Cum prin adăugarea coloanei termenilor liberi rangul nu poate scădea, rezultă întotdeauna .
Formulări echivalente
Teorema Kronecker–Capelli conduce la următoarea clasificare a sistemelor de ecuații liniare:
Dacă , sistemul este compatibil determinat, adică are o singură soluție; Dacă , sistemul este compatibil nedeterminat, adică are o infinitate de soluții; Dacă , sistemul este incompatibil, iar mulțimea soluțiilor este ;
Această formulare permite stabilirea naturii unui sistem de ecuații liniare fără determinarea soluțiilor. În cazul unui sistem compatibil, numărul parametrilor liberi este egal cu diferența dintre numărul necunoscutelor și rangul matricei coeficienților.
Există mai multe convenții de notație pentru matricea extinsă asociată unui sistem de ecuații liniare. În literatura de specialitate se utilizează frecvent notațiile , sau . În acest articol este folosită notația .Gabriel Bercu, Leonard Dăuș, Daniela Roșu, Marius Vlădoiu, Cristian Voica, Algebră liniară, geometrie analitică, geometrie diferenţială şi elemente de algebră tensorială. Vol. I: Algebră liniară, Editura StudIS, Vatra Dornei, 2013, pp. 61–62; C. O. Târniceriu, Algebră liniară, geometrie analitică și diferențială. Curs I-II. Matrice și determinanți. Sisteme de ecuații liniare. Spații vectoriale. Definiții, exemple și proprietăți generale. Dependență liniară, independență liniară și baze într-un K-spațiu, Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iași, pp. 38–41.
Formularea în termenii minorilor caracteristici este cunoscută sub numele de teorema lui Rouché–Frobenius. Aceasta reprezintă o formulare echivalentă a teoremei Kronecker–Capelli, criteriul de compatibilitate fiind exprimat prin intermediul minorilor care determină rangul matricei asociate sistemului.Denumirea teoremei diferă în funcție de tradiția matematică națională. În literatura de specialitate anglofonă (engleză), italiană și braziliană este frecvent utilizată denumirea de teorema Rouché–Capelli. În Austria, Polonia, Ucraina, Croația, România, Serbia și Rusia este răspândită denumirea de teorema Kronecker–Capelli. În Franța este utilizată denumirea de teorema Rouché–Fontené, în Spania și numeroase țări din America Latină, este utilizată denumirea de teorema Rouché–Frobenius, iar în Cehia și Slovacia denumirea de teorema lui Frobenius. Aceste denumiri se referă la formulări echivalente ale aceluiași criteriu de compatibilitate pentru sistemele de ecuații liniare.
Demonstrație
Demonstrația teoremei se bazează pe aplicarea operațiilor elementare pe linii asupra matricei extinse a sistemului. Aceste operații transformă sistemul inițial într-un sistem echivalent (un sistem care are aceeași mulțime de soluții). În același timp, ele nu modifică rangul matricii coeficienților și nici rangul matricei extinse.
Prin efectuarea unui număr finit de operații elementare pe linii, sistemul poate fi transformat într-un sistem echivalent, mai simplu, din care compatibilitatea poate fi determinată direct. Dacă în urma acestor transformări apare o ecuație de forma , atunci sistemul este incompatibil, deoarece relația este imposibilă.
În acest caz, matricea extinsă conține o linie nenulă suplimentară față de matricea coeficienților, ceea ce implică , din care rezultă că sistemul nu are soluții.
Dacă în urma transformărilor nu apare nicio ecuație contradictorie, atunci orice linie nulă din matricea coeficienților corespunde unei linii cu termen liber nul în matricea extinsă. Prin urmare, rangul matricei coeficienților este egal cu rangul matricei extinse, , iar sistemul are cel puțin o soluție, deci este compatibil.
Odată stabilită compatibilitatea sistemului, numărul soluțiilor depinde de relația dintre rangul comun al matricelor și numărul necunoscutelor. Dacă , atunci toate necunoscutele sunt determinate în mod unic, iar sistemul este compatibil determinat. Dacă , atunci există necunoscute care pot lua valori libere. Prin urmare, sistemul este compatibil nedeterminat și admite o infinitate de soluții.
Rezultă că egalitatea , este condiția necesară și suficientă pentru compatibilitatea unui sistem de ecuații liniare, conform teoremei Kronecker–Capelli.
Legătura cu metoda Gauss și forma redusă
Teorema Kronecker–Capelli oferă un criteriu de compatibilitate pentru sistemele de ecuații liniare, însă nu oferă direct soluțiile acestora. În practică, verificarea condițiilor teoremei se realizează prin aplicarea metodei eliminării Gauss asupra matricei extinse asociate sistemului.
Prin efectuarea operațiilor elementare pe linii, matricea extinsă este adusă la o formă mai simplă. În această formă, rangul matricei coeficienților și rangul matricei extinse pot fi determinate cu ușurință, deoarece ele coincid cu numărul liniilor nenule ale matricilor respective.
Dacă în urma reducerii apare o linie de forma , sistemul este incompatibil. În schimb, dacă nu apare nicio astfel de relație contradictorie, sistemul va fi compatibil, iar natura soluțiilor sale poate fi stabilită cu ajutorul teoremei Kronecker–Capelli.
În cazul unui sistem compatibil, forma redusă permite identificarea necunoscutelor determinate de sistem și a parametrilor liberi. Dacă rangul comun al matricilor este egal cu numărul necunoscutelor, sistemul are o soluție unică. Dacă rangul comun este mai mic decât numărul necunoscutelor, apar parametrii liberi, iar sistemul are o infinitate de soluții.
Interpretare geometrică
În cazul unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute, fiecare ecuație reprezintă o dreaptă în plan. Soluțiile sistemului corespund punctelor comune ale celor două drepte. Astfel, un sistem compatibil determinat corespunde la două drepte secante, care se intersectează într-un singur punct. Un sistem compatibil nedeterminat are o infinitate de soluții, iar un sistem incompatibil nu are nicio soluție și corespunde, de exemplu, unor drepte paralele distincte.Dorel Fetcu, Elemente de geometrie analitică și diferențială, fragment din volumul Elemente de algebră liniară, geometrie analitică și geometrie diferențială, Casa Editorială Demiurg, Iași, 2009, pp. 24–25, 28–29.
În cazul unui sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute, fiecare ecuație reprezintă un plan în spațiul tridimensional. Soluțiile sistemului sunt punctele comune celor trei plane. Un sistem compatibil determinat corespunde situației în care cele trei plane au un singur punct comun. Un sistem compatibil nedeterminat apare atunci când intersecția comună este o dreaptă sau, în cazuri particulare, un plan. Dacă cele trei plane nu au niciun punct comun, sistemul este incompatibil.
Exemple de calcul
Sistem compatibil determinat
Se consideră sistemul
Matricea coeficienților și matricea extinsă sunt:
Determinantul matricei coeficienților este:
Prin urmare, .
Deoarece matricea extinsă conține matricea coeficienților ca submatrice, ea admite de asemenea un minor de ordinul 2 diferit de zero, și anume:
Rezultă că .
Prin urmare, . Conform teoremei Kronecker–Capelli, sistemul este compatibil determinat.
Pentru determinarea soluției, se adună cele două ecuații ale sistemului:
, de unde rezultă , deci .
Înlocuind această valoare în prima ecuație, , se obține .
Prin urmare, sistemul are soluția unică:
Sistem compatibil nedeterminat Se consideră sistemul
Matricea coeficienților și matricea extinsă sunt:
Determinantul matricei coeficienților este:
Prin urmare, .
Luăm un minor de ordinul 2: , de unde rezultă .
Pentru matricea extinsă, toți minorii de ordinul 3 sunt nuli. De exemplu:
În schimb, matricea extinsă conține un minor de ordinul 2 cu determinant nenul:
Prin urmare, .
Rezultă că . Conform teoremei Kronecker–Capelli, sistemul este compatibil nedeterminat.
Pentru determinarea soluțiilor, se observă că a doua ecuație este dublul primei. Sistemul va devenii:
Scăzând a doua ecuație din prima, se obține , de unde .
Înlocuind în prima ecuație, .
Notând , rezultă .
Prin urmare, soluția generală este , sistemul având o infinitate de soluții.
Sistem incompatibil
Se consideră sistemul
Matricea coeficienților și matricea extinsă sunt:
Determinantul matricei coeficienților este
Dezvoltând după linia a treia, se obține:
Pentru primul determinant de ordinul 3:
La fel și pentru al doilea determinant de ordin 3 din calcul:
Prin urmare, , și astfel .
Observație: Aceeași concluzie se poate obține direct din proprietățile determinanților. Deoarece prima și a patra linie ale matricei sunt identice, determinantul este nul. Dacă o matrice are două linii egale sau două coloane egale, atunci determinantul său este egal cu zero.
Se consideră minorul de ordinul 3
Dezvoltând după prima linie, se obține
Prin urmare, .
Luăm un alt minor de ordinul 3:
Dezvoltând după prima linie:
Prin urmare, .
În schimb, minorul de ordinul 2 , este diferit de zero. Rezultă că .
Pentru matricea extinsă se consideră minorul de ordinul 3
Dezvoltând după prima linie:
Prin urmare, , și rezultă că . Cum , rezultă că .
Conform teoremei Kronecker–Capelli, sistemul este incompatibil. Prin urmare, sistemul nu admite soluții, iar mulțimea soluțiilor este .
Observație: În practică, rangurile pot fi determinate mai rapid utilizând proprietățile determinanților sau operații elementare asupra liniilor matricilor. În exemplele prezentate mai sus s-a utilizat exclusiv definiția rangului prin minori și determinanți.
Sistem cu parametru
Se consideră sistemul
Matricea coeficienților și matricea extinsă sunt:
Determinantul matricei coeficienților este
Aplicând regula lui Sarrus, se obține:
Prin urmare, , și astfel .
Se consideră minorul de ordinul 2
Rezultă două cazuri, și anume:
Dacă , atunci , deci există un minor de ordinul 2 diferit de zero. Cum am calculat anterior că , rezultă că . În plus, , astfel încât . Conform teoremei Kronecker–Capelli, sistemul este compatibil nedeterminat.
Dacă , atunci , iar matricea coeficienților devine:
Toate liniile matricei sunt proporționale, astfel încât .
Sistemul devine astfel
Primele două ecuații au aceeași parte stângă, dar termeni liberi diferiți, ceea ce duce la o contradicție. Prin urmare, sistemul nu admite soluții și este incompatibil.
Rezultă că sistemul este compatibil nedeterminat pentru și incompatibil pentru .
Observații