Vectorul Laplace-Runge-Lenz (LRL), în mecanica clasică este un vector utilizat în general pentru a descrie forma și orientarea orbitei unui corp astronomic în jurul altuia, cum ar fi, de exemplu, o planetă care se rotește în jurul unei stele. Pentru două corpuri care interacționează gravitațional după legea lui Newton, vectorul LRL este o integrală primă a mișcării, ceea ce înseamnă că valoarea lui este aceeași în orice punct de pe orbită; echivalent, se spune că vectorul LRL se conservă. Generalizat, vectorul LRL se conservă în toate problemele în care două corpuri interacționează între ele printr-o forță centrală, adică una care depinde invers proporțional cu pătratul distanței dintre ele; astfel de probleme se numesc probleme Kepler.Mercheș, Burlacu, Mecanica..., p. 55. Utilizând și conservarea vectorului LRL, pe lângă conservarea momentului cinetic și a energiei, problema determinării mișcării unui punct material într-un câmp de forțe conservative se reduce la o problemă, relativ simplă, de algebră vectorială Mercheș, Burlacu, Mecanica..., p. 63–64

Din punct de vederea mecanic, atomul de hidrogen este și el o problemă Kepler, deoarece reprezintă un sistem dinamic compus din două particule încărcate cu sarcină electrică care interacționează prin legea lui Coulomb din electrostatică, care este o altă forță centrală cu variație a valorii forței invers proporțională cu pătratul distanței. Folosirea vectorului LRL a fost esențială la prima deducere a formulei spectrului energetic al atomului de hidrogen în cadrul mecanicii cuantice, înainte de dezvoltarea teoriei cuantice a lui Schrödinger. cu toate acestea, această abordare este rar utilizată astăzi.

În mecanica clasică și cuantică, mărimile fizice care se conservă corespund în general unei simetrii la translații sau rotații ale sistemului. Conservarea vectorului LRL corespunde unei simetrii neobișnuite; problema Kepler este echivalentă din punct de vedere matematic cu o particulă care se mișcă liber pe suprafața unei hipersfere cu patru dimensiuni, astfel încât întreaga problemă este simetrică la anumite rotații ale spațiului tridimensional. Această simetrie sporită rezultă din două proprietăți particulare ale problemei Kepler: vectorul vitezei, pentru o anumită valoare a energiei totale dată a sistemului se mișcă (se rotește) întotdeauna într-un cerc perfect și toate aceste cercuri se intersectează în aceleași două puncte.

Vectorul Laplace-Runge-Lenz a fost denumit după Pierre-Simon de Laplace, Carl Runge și Wilhelm Lenz. Mai este cunoscut și sub una din denumirile: vectorul Laplace, vectorul Runge-Lenz sau vectorul Lenz. În mod ironic, nici unul dintre acești oameni de știință nu l-au definit pentru prima oară. Vectorul LRL a fost redefinit de mai multe ori și este echivalent cu vectorul de excentricitate fără dimensiuni din cadrul mecanicii cerești. Au fost definite diferite generalizări ale vectorului LRL care țin cont de efectele relativității speciale, câmpurilor electromagnetice și de acțiunea diferitelor altor tipuri de forțe centrale.

Istoric

Vectorul LRL, A, ​​este o constantă (integrală primă) a mișcării în problema lui Kepler și este util în descrierea orbitelor mișcării planetelor. Cu toate acestea, nu a fost niciodată foarte răpandit printre fizicieni probabil pentru că este o mărime fizică mai puțin intuitivă decât impulsul și momentul cinetic. În realitate, el a fost "redescoperit" de mai multe ori în ultimele trei secole de mai mulți oameni de știință independent unul de celălat.

Jakob Hermann a fost primul care a arătat că A este o mărime conservativă pentru un caz special al mișcării unui corp ceresc sub acțiunea unei forțe centrale invers proporțională cu pătratul distanței dintre corp și centrul forței(ales ca originea sistemului de referință) și a realizat legătura sa cu excentricitatea orbitei eliptice. Descoperirea lui Hermann a fost generalizată în forma sa modernă de către Johann Bernoulli în anul 1710. . La sfârșitul secolului al XVIII-lea, Pierre-Simon de Laplace a redescoperit conservarea lui A, mai degrabă pe cale analitică, decât geometrică. La mijlocul secolului al XIX-lea, William Rowan Hamilton a dedus expresia vectorului echivalent de excentricitate (definit mai jos) , folosindu-l pentru a arăta că pe parcursul mișcării sub acțiunea unei forțe centrale invers proporționale cu pătratul distanței, vectorul de impuls p se mișcă pe un cerc (Figura 3)

La începutul secolului al XX-lea, Josiah Willard Gibbs a dedus același vector prin analiză vectorială . Deducția lui Gibbs a fost folosită ca un exemplu de Carl Runge într-un manual popular despre vectori, apărută în limba germană , exemplu la care a făcut apel Wilhelm Lenz în lucrarea sa despre studiul cuantic al atomului de hidrogen În 1926, vectorul LRL a fost folosit de Wolfgang Pauli pentru a deduce spectrul energetic al hidrogenului utilizând mecanica cuantică modernă, fără ecuația Schrödinger , după publicarea lucrării lui Pauli, conceptul a devenit cunoscut mai ales sub denumirea de vectorul Runge-Lenz. În prezent, vectorul LRL, A, este cunoscut sub denumirea de vectorul Laplace-Runge-Lenz, cu referire la numele savanților care l-au folosit cu succes în studiile lor și nu la cel care l-a descoperit primul.

Definiții O particulă (punct material) care se mișcă sub acțiunea oricărei forțe centrale conservative are cel puțin patru constante de mișcare (integrale prime ale mișcarii): energia totală E și cele trei componente carteziene ale vectorului momentului cinetic L în raport cu originea sistemului de referință. Orbita particulei este conținută ntr-un plan definit de impulsul inițial al particulei p (sau, în mod echivalent, de viteza sa v) și vectorul r dintre centrul forței (ales ca originea sistemului de referință) și particulă (vezi Figura 1, mai jos).

După cum este definit mai jos (a se vedea Definiția matematică), vectorul Laplace-Runge-Lenz (vector LRL) A se află întotdeauna în planul de mișcare pentru orice forță centrală. Cu toate acestea, A este constant doar pentru o forță centrală cu variație invers proporțională cu pătratul distanței. Pentru majoritatea forțelor centrale, vectorul A nu este constant, se schimbă atât în ​​mărime cât și în direcție; dacă forța centrală are aproximativ o lege invers pătratică, vectorul A este aproximativ constant în valoare, dar se rotește încet. Pentru toate forțele centrale poate fi definit un vector LRL conservativ generalizat , dar acest vector generalizat este o funcție complicată de poziție și de regulă nu poate fi exprimată în formă concisă.

Planul traiectoriei mișcării corpului (punctului material) este perpendicular pe vectorul momentului cinetic L, care este constant; acest lucru poate fi exprimat matematic prin ecuația data de produsul scalar ; deoarece A se află în acest plan, .

Vectorul LRL diferă de alte mărimi fizice conservative prin următoarea proprietate: pentru mărimile conservative tipice există o coordonată ciclică corespunzătoare Lagrangeanul tridimensional al sistemului dar pentru vectorul LRL nu există o astfel de coordonată. Prin urmare, conservarea vectorului LRL trebuie dedusă direct, de exemplu, prin metoda parantezei Poisson, așa cum este descris mai jos. Mărimile conservative de acest tip sunt numite "dinamice", spre deosebire de legile de conservare "obișnuite" "geometrice", cum ar fi, de exemplu, cele ale momentului cinetic.

Definiția matematică

Pentru o singură particulă acționată de o forță centrală dată printr-o lege în care mărimea forței este invers proporțională cu distanța, descrisă de ecuația:

Definițe:

vectorul LRL A este definit matematic prin formula:

Unde: este masa particulei aflată sub acțiunea unei forțe centrale, p este vectorul impuls al particulei, L = r × p este vectorul moment cinetic al particulei, este facorul de proporționalitate din expresia legii forței centrale, r este vectorul de poziție al particulei (vezi Figura 1), este versorul vectorului de poziție, , unde reprezintă mărimea scalară a vectorului r.

Deoarece forța este conservativă, energia sistemului este o constantă a mișcării,

Mai mult, din presupunerea că forța este o forță centrală, rezultă că vectorul de moment cinetic L este o mărime conservativă și definește planul în care particula se mișcă. Vectorul LRL, A , este perpendicular pe vectorul momentul cinetic L deoarece atât cât și r sunt perpendiculare pe L. Rezultă că A se află în planul orbitei.

Această definiție a vectorului LRL, A, se referă la o singură particulă de masă care se mișcă sub acțiunea unei forțe date. Cu toate acestea, aceeași definiție poate fi extinsă probleme ale celor două corpuri cum ar fi problema lui Kepler, luând ca masa redusă a celor două corpuri și r ca vector între cele două corpuri.

O intreaga varietate a acestei constante de mișcare poate fi utilizată pentru diverse alte probleme similare. Cea mai comună este de a scala prin mk pentru a defini vectorul excentricitate

Determinarea orbitelor Kepler

Forma si orientarea orbitelor din problemele de tip Kepler pot fi determinate pornind de la vectorul LRL,A , după cum urmează. Considerând produsul scalar al lui A cu vectorul de poziție r , acesta ne conduce la ecuația:

unde θ este unghiul dintre vectorul LRL A și vectorul de poziție r (Figura 2). Folosind formula de permutare a produsului mixt al vectorilor, se obține:

prin rearanjare, se găsește formula pentru o secțiune conică, cu condiția ca A să fie constant, așa cum este cazul legii forței invers proporționale cu pătratul distanței,

de excentricitate e,

și de coardă

Semiaxa mare a unei secțiuni conice se poate defini utilizând exresiile pentru coardă și excentricitate

unde semnul minus se referă la elipsă și plus pentru hiperbolă.

Luând in considerare produsul scalar al lui A cu el însuși, rezultă o ecuație care implică energia E ,

ceea ce poate fi rescris în termeni de excentricitate,

Prin urmare, dacă energia E este negativă (orbite închise), excentricitatea este subunitară și orbita este o elipsă. În schimb, dacă energia este pozitivă (orbite deschise, denumite și "orbite împrăștiate"), excentricitatea este supraunitară și orbita este o hiperbolă. În cazul al treilea, dacă energia este zero, excentricitatea este unitară și orbita este o parabolă. În toate cazurile, direcția vectorului A se află de-a lungul axei de simetrie a secțiunii conice și e orientat de la centrul forței (ales ca origine a sistemului de referință) spre periapsis, punctul cel mai apropiat de origine.

Hodograful circular al impulsului

În general, hodograful unui vector, dependent funcțional de unul sau mai mulți parametri, reprezintă locul geometric al punctelor din spațiu pe care vectorul, având originea fixata într-un punct determinat, îl descrie în timpul variației sale. Cunoașterea formei hodografului, pentru anumite probleme, are avantajul punerii in evidența a anumitor legi de conservare și a simetriilor problemei tratate. În continuare, se tratează hodograful impulsului caracteristic problemelor de tip Kepler și se arată că acesta este un cerc perfect cu centrul determinat, motiv perntru care este denumit hodograful circular al impulsului.

Conservarea vectorului LRL A și al vectorului moment cinetic L este utilă pentru a arăta că vectorul impulsului p se rotește într-un cerc sub acțiunea unei forțe centrale invers proporționale cu pătratul distanței, având originea determinată .

Considerand produsul scalar al vectorului : cu el insuși, se obține relația:

Alegând în continuare direcția vectorului moment cinetic L de-a lungul axei , iar semiaxa mare ca axa , se poate scrie ecuația locului geometric descris de vârful vectorului impuls,

Prin urmare, vectorul impuls, p este limitat la un cerc de rază cu centrul în punctul de coordonate . Excentricitatea corespunde cosinusului unghiului reprezentat în figura 3. Acest cerc este hodograful circular al impulsului pentru o problemă Kepler.