În matematică, teorema Stolz–Cesàro sau teorema Cesàro–Stolz este un criteriu pentru demonstrarea convergenței unui șir. Ea poartă numele matematicienilor Otto Stolz și Ernesto Cesàro, care au formulat-o și au demonstrat-o pentru prima dată.
Teorema Stolz–Cesàro poate fi privită ca o generalizare a mediei Cesàro, dar și ca o versiune pentru șiruri a regulii lui l'Hôpital.
Enunțul teoremei pentru cazul Fie și două șiruri de numere reale. Presupunem că este un șir strict monoton și divergent (adică strict crescător și cu limita , sau strict descrescător și cu limita ) și că există limita:
Atunci,
Enunțul teoremei pentru cazul Fie și două șiruri de numere reale. Presupunem acum că și , iar este strict descrescător. Dacă
atunci
Demonstrații Demonstrația teoremei pentru cazul
Cazul 1: presupunem că este strict crescător și divergent către , iar . Prin ipoteză, pentru orice există astfel încât, pentru orice ,
adică
Cum este strict crescător, avem , deci
Observăm apoi că
și, aplicând inegalitatea de mai sus fiecărui termen din paranteza pătrată, obținem
Acum, deoarece când , există un astfel încât pentru orice , iar inegalitățile de mai sus pot fi împărțite la pentru orice :
Cele două șiruri (definite doar pentru , întrucât ar putea exista un astfel încât )
sunt infinitezimale, deoarece și numărătorul este o constantă. Prin urmare, pentru orice există astfel încât
de unde rezultă
ceea ce încheie demonstrația. Cazul în care este strict descrescător și divergent către , iar , se demonstrează în mod similar.
Cazul 2: presupunem că este strict crescător și divergent către , iar . Procedând ca mai înainte, pentru orice există astfel încât, pentru orice ,
Din nou, aplicând inegalitatea de mai sus fiecărui termen din paranteza pătrată, obținem
iar
Șirul definit prin
este infinitezimal, astfel încât
iar, combinând această inegalitate cu cea precedentă, deducem
Toate celelalte cazuri, cu strict crescător sau strict descrescător și cu limita ori , iar , se tratează în același mod.
Demonstrația teoremei pentru cazul
Cazul 1: considerăm mai întâi cazul în care și este strict descrescător. De data aceasta, pentru fiecare , putem scrie
iar pentru orice , există astfel încât, pentru orice , avem
Cele două șiruri
sunt infinitezimale, deoarece, prin ipoteză, când . Așadar, pentru orice există astfel încât
deci, alegând în mod convenabil (adică luând limita în raport cu ), obținem
ceea ce încheie demonstrația.
Cazul 2: presupunem că și că este strict descrescător. Pentru orice există astfel încât, pentru orice ,
Prin urmare, pentru fiecare ,
Șirul
converge la (ținând fix). Deci astfel încât iar, alegând în mod convenabil, încheiem demonstrația:
Aplicații și exemple Teorema în cazul are câteva consecințe notabile, utile la calculul limitelor.
Media aritmetică Fie un șir de numere reale care converge la și definim
Atunci este strict crescător și divergent către . Calculăm
deci
Dacă este orice șir de numere reale și
există (finit sau infinit), atunci
Media geometrică Fie un șir de numere reale pozitive care converge la și definim
din nou calculăm
unde am folosit faptul că logaritmul este continuu. Rezultă că
iar, deoarece logaritmul este atât continuu, cât și injectiv, putem concluziona că . Dacă este orice șir de numere reale strict pozitive și
există (finit sau infinit), atunci
Presupunem că avem un șir și trebuie să calculăm
definind și , obținem
iar, dacă aplicăm proprietatea de mai sus,
Această ultimă formă este, de obicei, cea mai utilă pentru calculul limitelor. Dacă este orice șir de numere reale strict pozitive și
există (finit sau infinit), atunci
Exemple Exemplul 1
Exemplul 2
unde am folosit reprezentarea lui ca limită a unui șir.
Forma generală Enunț Forma generală a teoremei Stolz–Cesàro este următoarea:Regula lui l'Hôpital și teorema Stolz–Cesàro la imomath.com Dacă și sunt două șiruri astfel încât este monoton și nemărginit, atunci:
Demonstrație În loc să demonstrăm enunțul precedent, vom demonstra unul ușor diferit; mai întâi introducem o notație: fie orice șir, iar suma sa parțială o notăm prin . Enunțul echivalent pe care îl vom demonstra este:
Fie două șiruri de numere reale astfel încât , , atunci
Demonstrația enunțului echivalent Mai întâi observăm că: rezultă direct din definiția lui limita superioară și limita inferioară; este echivalent cu , deoarece pentru orice șir .
Așadar, trebuie să demonstrăm doar că . Dacă , nu mai este nimic de demonstrat; prin urmare putem presupune că (poate fi finit sau ). Prin definiția lui , pentru orice există un număr natural astfel încât
Putem folosi această inegalitate pentru a scrie
iar, cum , rezultă și , deci putem împărți la :
Deoarece când , șirul
Prin urmare,
iar prin definiția marginii superioare aceasta înseamnă exact că
și demonstrația este încheiată.
Demonstrația enunțului original Acum, luăm ca în enunțul formei generale a teoremei Stolz–Cesàro și definim
deoarece este strict monoton (putem presupune, de exemplu, că este strict crescător), avem pentru orice , iar cum , rezultă și . Prin urmare, putem aplica teorema tocmai demonstrată șirurilor (și sumelor lor parțiale ):
ceea ce este exact ceea ce trebuia demonstrat.
Referințe . . . . A. D. R. Choudary, Constantin Niculescu: Real Analysis on Intervals. Springer, 2014, , pp. 59-62 J. Marshall Ash, Allan Berele, Stefan Catoiu: Plausible and Genuine Extensions of L’Hospital's Rule. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 1 (February 2012), pp. 52–60 (JSTOR)
Legături externe Regula lui l'Hôpital și teorema Stolz–Cesàro pe imomath.com
Note
Categorie:Analiză matematică Stolz