Transpusa unei matrice este operația prin care, unei matrice date, i se asociază o altă matrice obținută prin schimbarea liniilor cu coloanele și a coloanelor cu liniile. Această operație joacă un rol fundamental în algebra liniară și în teoria matricelor.
Definiție Fie matricea
Se numește transpusa matricei , și se notează cu , matricea de tip definită prin:
Cu alte cuvinte, elementul aflat pe linia și coloana în transpusa lui este elementul aflat pe linia și coloana în matricea inițială.
Operația prin care liniile unei matrice devin coloane și coloanele devin linii se numește transpunere.
Forma generală Dacă
atunci
Linia din matricea devine coloana în matricea transpusă.
Exemple Exemplul 1 Fie matricea
Atunci transpusa sa este:
Exemplul 2 Fie matricea linie
Transpusa ei este matricea coloană:
Exemplul 3 Fie matricea
Atunci
Proprietăți Operația de transpunere verifică următoarele proprietăți fundamentale.
Dubla transpunere Pentru orice matrice ,
Aplicarea operației de transpunere de două ori conduce la matricea inițială.
Transpusa sumei Dacă matricile și sunt de același tip, atunci:
Transpusa produsului cu un scalar Pentru orice scalar ,
Transpusa produsului a două matrice Dacă produsul este definit, atunci:
Această proprietate este una dintre cele mai importante proprietăți ale transpusei, deoarece ordinea factorilor se inversează.
Demonstrația relației Fie
și
Elementul de pe poziția din matricea este:
În transpusa produsului:
Rezultă:
Pe de altă parte:
Cum înmulțirea numerelor reale sau complexe este comutativă,
de unde:
Relația cu diagonalele unei matrice În cazul unei matrice pătratice, elementele de pe diagonala principală rămân pe aceeași poziție după transpunere.
Dacă
atunci elementele
rămân neschimbate în transpusa lui .
Elementele situate simetric față de diagonala principală își schimbă între ele pozițiile:
Matrice simetrice O matrice pătrată (sau pătratică) se numește simetrică dacă:
Exemplu:
Într-o matrice simetrică are loc relația:
Matrice antisimetrică O matrice pătrată (sau pătratică) se numește antisimetrică dacă:
În acest caz:
Elementele diagonalei principale sunt nule:
Exemplu:
Urma unei matrice și transpusa Dacă este o matrice pătrată (sau pătratică), atunci:
Urma unei matrice reprezintă suma elementelor de pe diagonala principală.
Interpretare geometrică Transpunerea unei matrice poate fi interpretată drept o reflecție a elementelor matricei față de diagonala principală.
Astfel: elementele aflate deasupra diagonalei principale ajung sub diagonală; elementele aflate sub diagonală ajung deasupra acesteia.
Aplicații Transpusa unei matrice apare în: algebra liniară; geometria analitică; teoria formelor pătratice; rezolvarea sistemelor de ecuații liniare; studiul matricelor ortogonale; calcul numeric; informatică și grafică computerizată.
În multe aplicații, transpunerea este utilizată pentru simplificarea calculelor matriciale și pentru formularea unor proprietăți teoretice.
Observații Dacă este de tip , atunci este de tip . O matrice coloană devine matrice linie după transpunere. O matrice linie devine matrice coloană după transpunere. O matrice pătratică își păstrează ordinul după transpunere.
Vezi și Inversarea matricilor Proiecție
Legături externe MIT Algebră liniară: despre transpusele matricelor (engleză) Transpose de la MathWorld Transpose , PlanetMath
Categorie:Matrice Categorie:Algebră liniară
Bibliografie MATEMATICĂ Manual pentru clasa a XI-a Trunchi comun + curriculum diferențiat, Editura Carminis, 2006, ISBN 978-973-123-417-5. Gabriela Streinu-Cercel, Gabriela Constantinescu, Gabriela Oprea ș.a., Matematică M1: manual pentru clasa a XI-a, Editura Sigma, 2006, ISBN 978-973-649-264-8.