O ecuație de gradul întâi (numită și ecuație liniară cu o necunoscută) este o ecuație în care necunoscuta apare la puterea întâi și care poate fi adusă la o formă echivalentă de tipul , unde și sunt numere reale, iar . Soluția ei, atunci când există, este un unic număr real.

Ecuațiile de acest tip apar frecvent în algebră și constituie una dintre cele mai simple clase de ecuații. Rezolvarea lor se bazează pe păstrarea echivalenței prin operații efectuate asupra ambilor membrii ai ecuației.

Definiție

O ecuație de gradul întâi într-o necunoscută este o ecuație care poate fi scrisă sub forma , unde și .

Numărul se numește coeficientul necunoscutei, iar este termenul liber. Valoarea lui care transformă ecuația într-o propoziție adevărată se numește soluție sau rădăcină a ecuației.

Dacă , expresia nu mai definește o ecuație de gradul întâi; în acest caz, rezultă fie o identitate, fie o contradicție, după valoarea lui .

Forma generală

Ecuația de gradul întâi poate apărea în mai multe forme echivalente, de exemplu:

, în cazul unei ecuații de gradul întâi cu două necunoscute.

În cazul unei singure necunoscute, forma standard este , cu . Orice ecuație de tipul se reduce la această formă prin aducerea termenilor în același membru:

Necunoscuta și coeficienții

Într-o ecuație de gradul întâi cu o necunoscută:

reprezintă necunoscuta; este coeficientul lui ; este termenul liber.

Coeficientul trebuie să fie nenul pentru ca ecuația să fie de gradul întâi. Dacă , ecuația are o singură soluție, dată de

Metode de rezolvare

Rezolvarea unei ecuații de gradul întâi se face prin transformări echivalente, adică prin operații care nu schimbă mulțimea soluțiilor.

Se elimină parantezele, dacă există, se reduc termenii asemenea, se aduc termenii care conțin necunoscuta într-un membru și termenii constanți în celălalt membru, se împart ambele membre la coeficientul necunoscutei, dacă acesta este nenul, se verifică soluția obținută prin înlocuire în ecuația inițială.

Exemplu general:

Verificare:

, deci este soluția ecuației.

Metoda izolării necunoscutei

O formă frecvent folosită constă în izolarea termenului care conține necunoscuta:

Această metodă evidențiază faptul că soluția unei ecuații de gradul întâi este unică atunci când ecuația este bine determinată.

Metoda reducerii la forma standard

Orice ecuație de tipul , în care și sunt expresii algebrice de gradul întâi se poate aduce la forma standard prin mutarea tuturor termenilor într-un singur membru și reducerea termenilor asemenea.

De exemplu:

devine

și apoi

, deci .

Proprietăți

Ecuațiile de gradul întâi au următoarele proprietăți principale:

Au cel mult o soluție dacă ; Soluția, atunci când există, este un număr real unic; Sunt stabile la transformări echivalente precum: adunarea sau scăderea aceluiași număr din ambele membre; înmulțirea sau împărțirea ambelor membre cu același număr nenul; transpunerea unui termen dintr-un membru în celălalt cu schimbarea semnului; De asemenea, ele mai pot fi interpretate ca probleme de determinare a unui număr necunoscut într-o relație liniară.

Dacă o ecuație se reduce la forma , apar două cazuri:

Dacă , ecuația are o infinitate de soluții, deoarece devine o identitate; Dacă , ecuația nu are nicio soluție, deoarece devine o contradicție.

Cazuri particulare

Ecuații echivalente cu o identitate

Dacă, după simplificare, se obține , atunci orice număr real este soluție. O astfel de ecuație nu este, propriu-zis, o ecuație de gradul întâi, dar poate apărea ca rezultat al unor transformări.

Ecuații echivalente cu o contradicție

Dacă, după simplificare, se obține , cu , atunci ecuația nu are soluții.

Ecuații cu fracții

Când apar fracții, se poate înmulți fiecare membru cu un multiplu comun al numitorilor, dar cu respectarea condiției ca expresiile să fie definite. De exemplu:

,

se înmulțește cu

, de unde rezultă .

Ecuații cu paranteze

Dacă ecuația conține paranteze, acestea se desfac înainte de reducerea termenilor asemenea. De exemplu:

devine

,

adică

, de unde rezultă că .

Interpretare geometrică

Ecuația de gradul întâi poate fi asociată funcției liniare

Soluția ecuației este abscisa punctului în care graficul funcției intersectează axa , adică punctul în care . Pentru , graficul este o dreaptă care intersectează axa absciselor într-un singur punct.

Din acest punct de vedere, rezolvarea ecuației înseamnă determinarea zeroului funcției liniare asociate. Dacă , graficul devine o dreaptă orizontală și nu mai descrie o funcție de gradul întâi în sens strict.

Exemple

Exemplul 1

Rezolvați ecuația .

Verificare:

.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația .

Exemplul 3

Rezolvați ecuația .

, adică .

Exemplul 4

Rezolvați ecuația .

Ecuația nu are soluții, deoarece rezultă o contradicție.

Vezi și

Ecuație Funcție liniară Coeficient Număr real Gradul unui polinom

Note

Bibliografie

Barnett, R.A.; Ziegler, M.R.; Byleen, K.E. (2008), College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences (ed. 11th), Upper Saddle River, N.J.: Pearson, ISBN 0-13-157225-3 „Matematica TC+CD” - manual de clasa a IX-a, I.V. Maftei, A.V. Mihai, M.A. Nicolescu, C.P. Nicolescu - Ed. UNIVERSAL PAN, Ed. NEDION, București, 2004 „Matematica TC+CD” - manual de clasa a IX-a, M. Ganga, Ed. MATHPRESS, Ploiești, 2008

Legături externe

Linear Equation — Wolfram MathWorld

Categorie:Ecuații Categorie:Algebră elementară