thumb|right|Manevrele posibile ale unui cub Rubik formează un grup. În matematică, un grup este o mulțime prevăzută cu o operație binară care combină orice două elemente ale ei pentru a forma un al treilea element în așa fel încât sunt satisfăcute patru condiții, denumite axiomele grupurilor, și anume închiderea, asociativitatea, existența elementului neutru, respectiv a elementului simetric. Unul dintre cele mai familiare exemple de grup este mulțimea numerelor întregi împreună cu operația de adunare, dar grupurile sunt întâlnite în domenii numeroase din interiorul și din afara matematicii, și ajută la concentrarea pe unele aspecte structurale esențiale, detașându-le de natura concretă a subiectului de studiu.: „The idea of a group is one which pervades the whole of mathematics both pure and applied.” [„Ideea de grup este una răspândită în întreaga matematică, atât pură cât și aplicată.”]

Grupurile au în comun o înrudire fundamentală cu noțiunea de simetrie. De exemplu, un grup de simetrie codifică trăsăturile simetrice ale unui obiect geometric: grupul constă din mulțimea transformărilor care lasă obiectul neschimbat, împreună cu operația de combinare a două astfel de transformări prin efectuarea lor una după alta. Grupurile Lie sunt grupuri de simetrie utilizate în Modelul Standard din fizica particulelor; grupurile Poincaré, un tip particular de grupuri Lie, pot exprima simetria fizică ce stă la baza teoriei relativității restrânse; grupurile punctuale sunt folosite pentru a înțelege fenomenele de simetrie din chimia moleculară.

Conceptul de grup a apărut în legătură cu studiul permutărilor a n elemente, studiu datorat lui Cauchy N. Mihăileanu, Istoria matematicii, volumul II, p.211. Conexiunea cu teoria ecuațiilor polinomiale a fost sesizată începând cu Évariste Galois în anii 1830Nicolae N. Mihăileanu, Istoria matematicii, volumul II, p. 215, el fiind creatorul numelui grupNicolae N. Mihăileanu, Istoria matematicii, volumul II, p. 213. Alte sectoare ale matematicii, cum ar fi teoria numerelor și geometrie sunt și ele sursă a noțiunii de grup care a fost generalizată și a devenit bine cunoscută și acceptată pe la 1870. Teoria grupurilor modernă—o disciplină matematică activă—studiază grupurile ca atare. Pentru a explora grupurile, matematicienii au pus la punct diferite noțiuni pentru a descompune grupurile în părți mai mici și mai ușor de înțeles, cum ar fi subgrupurile, grupurile factor și grupurile simple. Pe lângă proprietățile lor abstracte, teoreticienii grupurilor studiază și diferite feluri în care un grup poate fi concret exprimat, atât din punct de vedere al teoriei reprezentării (adică prin reprezentările grupurilor) cât și prin teoria computațională a grupurilor. S-a dezvoltat o teorie pentru grupurile finite, care a culminat cu clasificarea grupurilor simple finite, definitivată în 2004. De pe la jumătatea anilor 1980, teoria geometrică a grupurilor, care studiază grupurile finit generate ca obiecte geometrice, a devenit un domeniu activ în teoria grupurilor.

Definiție

Un cuplu , format dintr-o mulțime nevidă G și o lege de compoziție internă "" pe G, este grup dacă sunt satisfăcute axiomele:

Axioma închiderii Oricare ar fi x și y din G, și rezultatul operației face parte din G Axioma asociativității Oricare ar fi x,y,z din G, Axioma elementului neutru Există un element e în G, astfel încât , oricare ar fi x din G Axioma elementelor simetrice Oricare ar fi x din G, există y în G cu proprietatea că

Dacă este satisfăcută și axioma

Axioma comutativității Oricare ar fi x,y din G,

atunci grupul se numește grup comutativ sau abelian.

Exemple

Mulțimea numerelor întregi Unul dintre cele mai cunoscute grupuri este cel format de mulțimea numerelor întregi Z, adică mulțimea numerelor ..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...Lang, 2005, App. 2, p. 360 împreună cu operația de adunare. Proprietățile acestui grup folosesc drept model pentru axiomele abstracte date în definițiile de mai sus.

Oricare ar fi doi întregi a și b, suma a + b este tot un număr întreg. Cu alte cuvinte, adunarea întregilor doi câte doi nu poate da un rezultat care să nu fie întreg. Această proprietate este cunoscută sub numele de închidere în raport cu operația de adunare. Oricare ar fi trei întregi a, b și c, (a + b) + c = a + (b + c). Cu alte cuvinte, dacă se adună întâi a cu b, și rezultatul se adună cu c, rezultatul final este același cu cel obținut adunând a cu suma dintre b și c, proprietate denumită asociativitate. Dacă a este un număr întreg, atunci 0 + a = a + 0 = a. Zero se numește element neutru în raport cu adunarea, deoarece adunarea lui la orice întreg dă acel întreg. Oricare ar fi un întreg a, există un întreg b astfel încât a + b = b + a = 0. Numărul întreg b se numește element opus al lui a și se notează cu −a.

Un grup de simetrie Simetriile (adică rotațiile și reflexiile) unui pătrat formează un grup denumit grup diedral, și notat cu D4.Herstein, 1975, cap. 2.oper6, p. 54 Mulțimea conține următoarele operații: 140px identitatea (păstrarea așa cum e) 140px r1 (rotația cu 90° în sens orar) 140px r2 (rotația cu 180°) 140px r3 (rotația cu 90° în sens trigonometric) 140px fv (întoarcerea în oglindă pe verticală) 140px fh (întoarcerea în oglindă pe orizontală) 140px fd (întoarcere în oglindă după prima diagonală) 140px fc (întoarcere în oglindă după a doua diagonală) Elementele grupului de simetrie al unui pătrat (D4). Colțurile sunt colorate și numerotate doar pentru vizualizarea operațiilor. operația identitate, care lasă totul neschimbat, notată id; rotațiile pătratului cu 90° în sens orar, 180°, și 270° în sens orar, notate cu r1, r2 și r3, respectiv; reflexiile după linia mediană verticală și cea orizontală (fh respectiv fv), și reflexiile după cele două diagonale (fd și fc).

Oricare două transformări a și b pot fi compuse, adică aplicată una după cealaltă. Rezultatul aplicării lui a și apoi a lui b se scrie simbolic de la dreapta la stânga astfel: b • a („aplică transformarea b după aplicarea transformării a”). Notația de la dreapta la stânga provine din cea folosită pentru compunerea funcțiilor.

Tabela din dreapta prezintă toate compunerile posibile. De exemplu, rotind cu 270° la dreapta (r3) și apoi oglindind orizontal (fh) se obține același rezultat ca reflexia după diagonală (fd). Utilizând simbolurile de mai sus, cu albastru în tabelă: fh • r3 = fd.

+ Tabela grupului D4 • id r1 r2 r3 fv fh fd fc id id r1 r2 r3 fv fh fd fc r1 r1 r2 r3 id fc fd fv fh r2 r2 r3 id r1 fh fv fc fd r3 r3 id r1 r2 fd fc fh fv fv fv fd fh fc id r2 r1 r3 fh fh fc fv fd r2 id r3 r1 fd fd fh fc fv r3 r1 id r2 fc fc fv fd fh r1 r3 r2 id Elementul identitate, r1, r2, și r3 formează și ele un subgrup, evidențiat cu roșu (regiunea din stânga-sus). O clasă laterală la stânga și o clasă laterală la dreapta ale acestui subgrup sunt evidențiate cu verde (pe ultimul rând) respectiv cu galben (pe ultima coloană). Dată fiind mulțimea transformărilor și operația de compunere, acestea formează un grup, respectând axiomele din definiție astfel: <li> Axioma de închidere cere ca prin compunerea b • a a oricare două transformări de simetrie a și b să se obțină tot o transformare de simetrie. Un alt exemplu pentru operația pe grup este r3 • fh = fc, adică rotația cu 270° în sens orar a pătratului obținut prin oglindirea pe orizontală e echivanetă cu oglindirea după diagonala a doua (fc). Într-adevăr, orice combinație de două transformări de simetrie reprezintă și ea o transformare de simetrie, ceea ce se poate verifica prin utilizarea tabelei grupului.

<li> Asociativitatea tratează cazul compunerii a mai mult de două transformări: date fiind trei transformări a, b și c din D4, există două moduri posibile de calcul a operației "a apoi b apoi c". Cerința (a • b) • c = a • (b • c) înseamnă că operația de compunere a trei elemente este independentă de prioritatea operațiilor, adică dacă întâi se face a după b, și apoi c după rezultatul este același lucru cu a face a după rezultatul compunerii lui b cu c. De exemplu, (fd • fv) • r2 = fd • (fv • r2) se poate verifica cu ajutorul tabelei grupului din dreapta {|style="text-align:center"| |(fd • fv) • r2|| = ||r3 • r2|| = ||r1, care este egal cu |- |fd • (fv • r2)|| = ||fd • fh|| = ||r1.

Elementul neutru este transformarea identică, ce lasă totul neschimbat: pentru orice transformare a, efectuarea transformării identice după a (sau a lui a după transformarea identică) e același lucru cu operarea transformării a; în formă simbolică, id • a = a, a • id = a.

Elementul simetric este cel care inversează transformarea al cărui element simetric este. Fiecare transformare are o astfel de transformare: identitatea, oglindirile fh, fv, fd, fc și rotația la 180° r2 sunt propriile inverse, deoarece prin efectuarea fiecăreia de două ori se obține orientarea inițială a pătratului. Rotațiile r3 și r1 sunt fiecare elementul simetric al celeilalte. Simbolic, fh • fh = id, r3 • r1 = r1 • r3 = id.

Spre deosebire de grupul numerelor întregi, în care ordinea operațiilor este irelevantă, în D4 ea contează: fh • r1 = fc dar r1 • fh = fd. Cu alte cuvinte, D4 nu este grup abelian, ceea ce face ca structura acestui grup să fie mai complexă decât cea a numerelor întregi.

Istorie left|thumb|upright|Matematicianul francez Évariste Galois, este considerat fondatorul teoriei moderne a grupurilor Conceptul modern de grup abstract s-a dezvoltat din mai multe domenii ale matematicii. Motivația originară pentru teoria grupurilor a fost căutarea soluțiilor ecuațiilor polinomiale de grad mai mare ca 4. Matematicianul francez din secolul al XIX-lea Évariste Galois a dat, pe baza muncii anterioare a lui Paolo Ruffini și Joseph-Louis Lagrange, un criteriu pentru existența soluțiilor unei anume ecuații polinomiale în termeni de grup de simetrie al rădăcinilor polinomului. Elementele acestui grup Galois corespund anumitor permutări ale rădăcinilor. La început, ideile lui Galois au fost respinse de contemporani, fiind publicate doar postum. Grupuri de permutare au fost cercetate, la modul mai general, în special de Augustin Louis Cauchy. Lucrarea lui Arthur Cayley intitulată Despre teoria grupurilor, în funcție de ecuația simbolică θn = 1 (1854) dă prima definiție abstractă a unui grup finit.

Geometria a fost al doilea domeniu în care grupurile au ajuns să fie folosite sistematic, mai ales grupurile de simetrie ca parte a programului Erlangen din 1872 al lui Felix Klein. După apariția unor geometrii noi, cum ar fi cea hiperbolică și cea proiectivă, Klein a folosit teoria grupurilor pentru a le organiza într-o manieră mai coerentă. Ducând aceste idei mai departe, Sophus Lie a fondat studiul grupurilor Lie în 1884.

Al treilea domeniu care a contribuit la teoria grupurilor a fost teoria numerelor. Unele structuri de grup abelian fuseseră utilizate implicit în lucrarea de teoria numerelor a lui Carl Friedrich Gauss intitulată (1798), și mai explicit de Leopold Kronecker. În 1847, Ernst Kummer a dus la un apogeu primele încercări de a demonstra ultima teoremă a lui Fermat dezvoltând grupurile care descriu descompunerea în factori primi.

Convergența acestor surse variate înspre o teorie uniformă a grupurilor a început cu lucrarea (1870) a lui Camille Jordan. (1882) a dat primul enunț al definiției moderne a grupurilor abstracte. După începutul secolului al XX-lea, grupurile au căpătat recunoaștere după munca de pionierat a lui Ferdinand Georg Frobenius și William Burnside, care au lucrat la teoria reprezentării grupurilor finite, teorema reprezentării modulare a lui și după lucrările lui . Teoria grupurilor Lie, și mai general, cea a grupurilor local compacte a fost înaintată de , Élie Cartan și mulți alții. Teoria grupurilor algebrice a fost schițată întâi de Claude Chevalley (spre sfârșitul anilor 1930) și ulterior de și Jacques Tits.