Teoria modernă a portofoliilor (TMP) este un model matematic prin care un portofoliu de active financiare sau investiții este ales în așa fel încât să se maximizeze câștigul relativ sau „rentabilitatea medie” și să se reducă riscul.
Matematic, riscul reprezintă cât variază rentabilitatea, reprezentat matematic prin abaterea standard.
Teoria se bazează pe conceptul că un portofoliu diversificat are un risc scăzut.
Matematic, conceptul unui portofoliu diversificat este reprezentat de corelația dintre investițiile portofoliului.
Concluziile acestei teorii sunt că riscul și câștigul nu trebuie analizate atât la nivelul investițiilor individuale, cât prin felul prin care contribuie la câștigul și riscul întregului portofoliu, prin diversificarea tipurilor de investiții.
Modelul oferă posibilități pentru a identifica portofoliul optim și pentru a evalua corect rentabilitatea unei investiții în funcție de risc.
Economistul Harry Markowitz a introdus această teorie în eseul său în 1952, primind Premiul Nobel pentru economie.
Presupuneri Teoria modernă a portofoliului se bazează pe următoarele presupuneri: Investitorii sunt raționali și evită riscul atunci când este posibil Scopul investitorilor este să maximizeze rentabilitatea portofoliului de investiții pe piața financiară Toți investitorii au acces la aceleași surse de informații pentru deciziile de investiții Investitorii împărtășesc opinii similare cu privire la rentabilitățile așteptate de la un activ financiar Investitorii pot împrumuta și da cu împrumut nelimitat, la aceeași rată Nu există vreun investitor destul de mare pe piață pentru a influența prețul activelor Taxele și comisioanele agenților de bursă nu sunt luate în considerare Rentabilitățile activelor sunt variabile aleatorii care respectă distribuția Gauss
Definiții Rentabilitate Rentabilitatea unei investiții sau activ pe o perioadă este o măsură care estimează câștigul unei investiții relativ la investiția inițială , unde și sunt prețurile investiției la momentele și , respectiv, și reprezintă dividendul obținut între cele două momente. De exemplu, o acțiune cumpărată cu 100 bani și vândută cu 110 bani cu un dividend de 2 bani are o rentabilitate de 0.12 sau 12%. Rentabilitatea viitoare a activului diferă în funcție de circumstanțe. De exemplu, dacă un competitor scoate un produs superior în același timp, P1 al produsului propriu va fi sub așteptări și rentabilitatea va fi, ca atare, sub așteptări. Dacă un nou tip de legislație încurajează consumul și investițiile, P1 ca crește și rentabilitatea va fi probabil peste așteptări.
Astfel, teoria modernă a portofoliului folosește ceea ce se numește rentabilitatea medie sau așteptată, notată , (din engleză „expected return” lit. „câștigul estimabil”). Pentru un fiecare eveniment previzibil i rentabilitatea va fi Fie probabilitatea ca evenimentul i să aibă loc. De exemplu, presupunând că dacă în patru ani economia națională va crește puternic, se știe că rentabilitatea acțiunilor companiei românești ABC va fi 32%. Se știe de asemenea că probabilitatea ca economia să crească este 30%. Pentru a calcula rentabilitatea medie, se calculează media ponderată a posibilelor rentabilități ale unei investiții, folosind probabilitățile ca greutăți.
SituațiaeconomicăProbabilitate ()PrețulestimatDividendRentabilitate () Prosperitate0,301257(125-100+7)/100
=0.32 sau 32%0,096Creștere0,4011930.220,088Scădere0,3010400,040,0012Rentabilitate medie E(r)0,1852 sau 18,52%
Fie o acțiune a companiei ABC cu prețul actual 100 de bani. În patru ani, este o probabilitate de 30% ca economia să crească abrupt, de 40% să crească lent și de 30% să descrească. Se fac următoarele estimări pentru patru ani mai târziu: Dacă economia prosperă, prețul va ajunge la 128 de bani și dividendul va fi 7 bani Dacă economia crește măsurat, prețul va ajunge la 117 și dividendul va fi 3 bani Dacă economia va scădea, prețul va fi 105, dividendul 0 bani
Așadar după patru ani, acțiunile vor avea probabil o rentabilitate printre 32%, 22% și 4%, dar teoria modernă a portofoliului îi va asocia rentabilitatea medie de 18,52%
au mereu suma egală cu 1 (100%) și oricare două probabilități se exclud reciproc (în exemplul de mai sus, economia nu poate să și crească, să și scadă în același timp).
Risc
Situațiaeconomică Prosperitate0,300,32 sau 32%0.196 sau 19.6%0,13480,018170,00545Creștere0,400,220,03480,00120,00048Scădere0,300,04 -0,14520,02110,00632Varianță0,01225Risc ()0,11068 sau 11,07% Riscul, notat , este abaterea standard a rentabilității unei investiții relativ la rentabilitatea medie . Cum abaterea standard măsoară variația rentabilității, riscul reprezintă cât de mult poate varia câștigul sau pierderea investitorului. sau
Folosind exemplul de mai sus al acțiunilor companiei ABC, riscul investiției se calculează astfel ca fiind 11,07%, după cum reiese din tabel.
Covarianța și coeficientul de corelație În statistică și teoria probabilităților, covarianța este o măsură care reprezintă măsura în care două variabile aleatoare variază similar. Dacă atunci când o variabilă are valori peste medie, cealaltă are de asemenea valori peste medie, atunci covarianța are valori positive. De asemenea, dacă atunci când o variabilă are valori sub medie, cealaltă are de asemenea valori sub medie, covarianța are valori pozitive. Dacă, pe de altă parte, când o variabilă are valori peste medie, cealaltă are valori sub medie și viceversa, atunci covarianța are valori negative.
Pentru variabile discrete (nu continue), fie variabila cu valorile și media aritmetică și variabila cu valorile și media aritmetică . Pentru portofoliul Markowitz, covarianța variabilelor și notată se calculează
unde este probabilitatea ca variabilele și să aibă respectiv valorile și cu Se poate vedea din formulă că În cazul a două investiții, formula se poate rescrie ca
Coeficientul de corelație , unde este covarianța dintre cele două investiții și și sunt respectiv abaterile standard ale variabilelor și Din formulă se poate observa că mereu și că
Model matematic Modelul matematic care susține concluziile teoriei moderne a portofoliilor se bazează pe câteva ipoteza că investitorii nu preferă riscul, efectiv, între două portofolii cu același câștig, îl vor alege pe cel cu mai puțin risc asociat.
Fiecare investiție într-un portofoliu are o pondere care reprezintă ce proporție din averea investitorului investită în acea investiție. Ca atare dacă sunt n investiții în portofoliu, , Rentabilitatea medie a portofoliului este calculată ca media ponderată a câștigurilor investițiilor cu greutățile fiind ponderile ale fiecărei investiții Riscul portofoliului este calculat ca o funcție a riscurilor investițiilor, utilizând coeficientul de corelație
+ExempluInvestiția 1Investiția 2 sau Pentru valorile din stânga ale poate fi calculat conform formulelor ca fiind Relația dintre risc (pe verticală) șicorelația dintre investiții (pe orizontală) 300px Portofoliu cu două investiții Fie un investitor care investește toată averea în două investiții și , și fiind respectiv rentabilitatea și riscul asociate fiecărei investiții. Atunci prima investiție are rentabilitatea medie și a doua . Investitorul investește în prima investiție și în a doua, cu , deoarece reprezintă ce proporții din avere folosește pentru fiecare investiție. Ca atare: Rentabilitatea medie a portofoliului esteși variază în funcție de ponderile și care reflectă cât alege investitorul să investească proporțional în fiecare investiție.
Varianța portofoliului este unde este coeficientul de corelație între prima și a doua investiție. Riscul portofoliului este și variază în funcție de coeficientul de corelație. Deoarece mereu
Dar este riscul portofoliului, de unde rezultă prima observație a lui Markowitz: riscul crește cu gradul de corelație și coeficientul de corelație al investițiilor. Cu cât investițiile sunt mai similare ( tinde spre 1) cu atât riscul este mai mare; cu cât investițiile sunt mai puțin similare ( tinde spre -1) cu atât riscul este mai mic. Conform formulei, riscul este zero dacă și numai dacă
Portofoliu cu trei investiții Pentru un portofoliu cu trei investiții și unde și fiind respectiv rentabilitatea și riscul asociate fiecărei investiții, rentabilitățile medii vor fi și Investitorul investește în prima investiție și în a doua și în a treia, cu , deoarece reprezintă ce proporții din avere folosește pentru fiecare investiție. Ca atare:
Portofoliul cu n investiții
fiind rentabilitatea a portofoliului, fiind rentabilitatea medie a portofoliului, fiind ponderea investiției , care are rentabilitatea
Identificarea portofoliului optim Definiția portofoliului eficient Modelul pleacă de la ipoteza că investitorii nu preferă riscul, efectiv, între două portofolii cu același câștig, îl vor alege pe cel cu mai puțin risc asociat. După cum reiese din modelul matematic, rentabiliatea medie variază în funcție de ponderile fiecărei investiții în timp ce riscul variază în funcție de coeficientul de corelație dintre investiții, așadar un investitor rațional are opțiunea să aleagă tipul de corelație și ponderile pentru a crea un portofoliu cu rentabilitatea și riscul dorit. miniatura|376x376px|Graficul reflecă relația dintre rentabilitate și risc atunci când variază coeficientul de corelație și ponderile asociateÎn aceste condiții se pot construi portofolii de superioare altora; un portofoliu P se numește portofoliu eficient sau optim Pareto dacă nu se poate forma niciun portofoliu Q cu aceeași rentabilitate așteptată și cu un risc mai mic.Altăr, M. (2002) p.13 Într-un grafic al riscului și rentabilității, un portofoliu este eficient dacă și numai dacă pe linia care trece din portofoliu, perpendiculară pe axa riscului nu există un alt portofoliu deasupra.
De exemplu, orice portofoliu din imaginea alăturată de pe curba cu rentabilitatea medie este un portofoliu eficient și superior portofoliului vertical sub el de pe aceeași curbă. Pentru fiecare curbă generată de un set de două investiții, portofoliile optime sunt cele din partea superioară a curbei.
Formula pentru determinarea portofoliului eficient cu risc minim cu două investiții este:Pentru Pentru
Un portofoliu de pe aceeași curbă, sau, altfel spus, care are același coeficient de corelație între cele două active financiare, oricare asemenea portofoliu este eficient dacă și numai dacă are ponderea a primei investiții mai mare decât valorile găsite mai sus. În graficul alăturat, pentru fiecare curbă, portofoliile optime sunt deasupra liniei întrerupte.
Portofoliile eficiente cu N posibile investiții și frontiera Markowitz miniatura|375x375px|Mulțimea portofoliior posibile După cum reiese din modelul matematic reprezentat în imaginea de mai sus, oricare două investiții, există o linie continuă care reprezintă grafic mulțimea de portofolii alcătuite din aceste două investiții. Se consideră că toate investițiile au riscul asociat mai mare ca zero. Această linie este mărginită de portofoliul alcătuit numai din investiția cu cea mai mare rentabilitate (vârful de sus, ) și de portofoliul alcătuit numai din investiția cu cea mai mică rentabilitate (vârful de jos, ).
Pentru populația de mărime N a tuturor investițiilor posibile, mulțimea tuturor portofoliilor care se pot alcătui combiații ale acestor active financiare este mulțimea tuturor portofoliilor viabile, reprezentată grafic figura alăturată, care rezultă prin suprapunerea fiecărei posibilități de portofoliu cu două investiții.
În figura alăturată, linia mărginită la capete reprezintă toate portofoliile eficiente care pot fi alcătuite dintr-o combinație a oricărora dintre toate investițiile disponibile pe piață. Este numită frontiera portofoliilor eficiente sau frontiera Markowitz. Oricare portofoliu sub linia , există un portofoliu deasupra lui care are același risc și o rentabilitate medie mai mare, ca atare, numai portofoliile de pe linia sunt portofolii eficiente.