thumb|right|200px|Un triunghi dreptunghic: latura c este ipotenuza, iar laturile a și b sunt catetele. În geometria plană, un triunghi dreptunghic este triunghiul care are un unghi drept (π/2 radiani sau 90°). Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză și este cea mai mare. Celelalte două laturi se numesc catete.

Date generale Suma celor două unghiuri ascuțite este egală cu 90°. Lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei. Orice triunghi dreptunghic se înscrie într-un cerc cu centrul la mijlocul ipotenuzei. Orice triunghi dreptunghic are ortocentrul în vârful unghiului drept.

Teoremele înălțimii Prima teoremă a înălțimii thumb|Notații pentru teoremele enunțate. Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.   sau

unde CD este înălțimea corespunzatoare ipotenuzei, iar AD și BD sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză (v. figura alăturată).

A doua teoremă a înălțimii Produsul înălțimii corespunzătoare ipotenuzei cu ipotenuza este egal cu produsul catetelor, adică dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu C=90° (v. figura alăturată), iar CD este perpendiculară pe AB, există relația:

Din care rezultă că lungimea înălțimii CD este egală cu raportul dintre produsul catetelor și ipotenuză:

Teorema catetei În triunghiul dreptunghic fiecare catetă este egală cu media geometrică dintre ipotenuză și proiecția catetei pe ipotenuză.

Fie triunghiul ABC cu C=90° și CD perpendiculara pe AB (v. figurile de mai sus). Există relația:   sau

Unghiuri Teorema unghiului de 45° Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 45° lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză.

Teorema unghiului de 30° Într-un triunghi dreptunghic ce are un unghi de 30°, lungimea catetei ce se opune acestui unghi este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.

Teorema unghiului de 15° Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 15°, lungimea înălțimii opuse unghiului de 15° este un sfert din lungimea ipotenuzei.

Formule de calcul ale ariei Într-un triunghi dreptunghic aria este egală cu semiprodusul catetelor.

Teorema lui Pitagora

Teorema lui Pitagora: „suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei”. Aceasta poate fi reprezentată în triunghiul dreptunghic ABC, AB fiind ipotenuza, iar C unghiul drept (v. notațiile din figurile de mai sus). Teorema lui Pitagora spune că:

Raporturi constante între elementele unui triunghi dreptunghic Raporturile constante în triunghiul dreptunghic sunt: sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta. Acestea se mai numesc și funcții trigonometrice. Sinusul măsurii unui unghi, este raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului și lungimea ipotenuzei:

Cosinusul măsurii unui unghi, este raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului și lungimea ipotenuzei:

Tangenta măsurii unui unghi este raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului și lungimea catetei alăturate unghiului:

Cotangenta măsurii unui unghi este raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului și lungimea catetei opuse unghiului:

Fie X măsura unui unghi, iar (90°-X) măsura complementului său. Atunci au loc următoarele relații:

Valori ale funcțiilor trigonometrice pentru măsurile unghiurilor de 0°, 30°, 45°, 60° și 90° sin cos tg -ctg -

Relații

Formule trigonometrice

Formula fundamentală a trigonometriei'''

Proprietățile afixelor vârfurilor Fie astfel încât ,unde .Următoarele afirmații sunt echivalente:

(a);

(b);

(c) ;

(d)Dacă notăm :,atunci ,pentru orice ;

(e);

Bibliografie

Categorie:Triunghiuri