dreapta|miniatura|400x400px|Exemplu de eșantioane pentru două populații cu medii similare, dar varianțe diferite. Populația reprezentată cu roșu are media 100 și varianța 100 (SD=10), pe când populația reprezentată cu albastru are media 100 și varianța 2500 (SD=50). În teoria probabilității și statistică, varianța reprezintă media abaterilor pătratice a unei variabile aleatorii de la media sa. Informal spus, măsoară depărtarea valorilor individuale (aleatorii) dintr-o mulțime, de la media lor. Varianța are un rol crucial în statistică, fiind folosită în statistica descriptivă, statistica inferențială, testarea ipotezelor, calitatea modelării și metodele Monte Carlo. Astfel de metode statistice se folosesc pretutindeni în știință. Varianța reprezintă pătratul deviației standard, al doilea moment central al unei distribuții, și covarianța unei variabile aleatorii cu sine însuși, fiind adesea reprezentată prin , sau .
Definiție Varianța unei variabile aleatorii este speranța matematică (i.e. media) a deviațiilor pătratice de la media lui , :
Această definiție cuprinde variabile aleatorii ce pot fi generate de procese discrete, continue, mixte sau Cantoriene. Varianța poate fi, de asemenea, definită ca reprezentând covarianța unei variabile aleatorii cu sine însăși:
Varianța este echivalentă cu al doilea cumulant al unei distribuții de probabilitate ce generează . Varianța este desemnată prin , , sau (pronunțat "sigma pătrat"). Expresia varianței poate fi dezvoltată:
Cu alte cuvinte, variația lui X este egală cu media valorilor pătratice ale lui X minus pătratul mediei lui X. Această ecuația nu trebuie folosită în programe de calcul ce folosesc virgula mobilă datorită fenomenului de reducere numerică ce apare când cei doi termeni au mărimi identice. Există alternative în algoritmii stabili numeric.
Variabilă aleatorie discretă Dacă distribuția variabilei aleatorii este discretă, având funcția de masă , atunci:
sau echivalent:
unde reprezintă speranța matematică (i.e media distribuției):
(În cazul în care suma ponderilor valorilor individuale nu este egală cu 1, atunci ecuația de mai sus trebuie împărțită la respectiva sumă).
Varianța unei mulțimi de elemente, având probabilități echivalente, poate fi scrisă ca:
unde este valoarea medie, adică,
Varianța poate fi exprimată și fără referirea directă la medie, ca reprezentând deviațiile pătratice a tuturor valorilor de la fiecare valoare în parte. Pentru o mulțime de elemente, având probabilități echivalente, avem:
Variabilă aleatorie continuă Dacă variabila este generată de o distribuție continuă cu o funcție de densitate de probabilitate , și este funcția de distribuție cumulativă corespunzătoare, atunci varianța populației este dată de:
sau echivalent, putem scrie
Unde reprezintă speranța matematică (i.e. media) a lui dată de:
cu integrale definite pe intervalul variabilei .
Dacă o distribuție continuă nu are o speranță matematică finită (i.e. medie), cum este cazul distribuției Cauchy, nu poate avea nici varianță. Multe alte distribuții pentru care speranța matematică este finită, nu au varianță (finită) pentru că integrala varianței este divergentă. Un astfel de exemplu este dat de distribuția Pareto, al cărui index satisface .
Exemple Distribuția normală Distribuția normală cu parametrii și este o distribuție continuă (cunoscută și sub numele de distribuție Gaussiană) a cărei funcție de densitate a probabilității este dată de:
În această distribuție, și varianța sunt legate de prin:
Rolul distribuției normale în teoria limitei centrale este, în parte, responsabilă pentru prevalența varianței în probabilitate și statistică.
Distribuția exponențială Distribuția exponențială cu paramentrul este o distribuție continuă definită pe intervalul semi-infinit . Funcția densității de probabilitate este dată de:
, având o speranță matematică (i.e. medie) egală cu . Prin urmare, varianța este egală cu:
De aici rezultă că, pentru distribuția exponențială, avem relația
Distribuția Poisson Singurul ei parametru este . Distribuția Poisson este o distribuție discretă pentru . Funcția de masă a probabilității este:
iar speranța matematică (i.e. media) este: . Astfel, varianța este egală cu:
De aici rezultă că, pentru distribuția Poisson, avem relația: .
Distribuția binomială Parametrii săi sunt și . Distribuția este o distribuție discretă pentru . Funcția de masă a probabilității este:
iar speranța matematică (i.e. media) este . Astfel, varianța este egală cu:
Spre exemplu, distribuția binomială cu descrie probabilitatea de a obține de ori o oarecare față (exp. ban) în cazul aruncării unei monede de ori. Deci, speranța matematică (i.e. media) pentru a obține una dintre fețe este , iar varianța este
Aruncarea cu zarul Un zar cu șase fețe poate fi modelat, conform distribuției binomiale, ca o distribuție cu variabilă discretă X , ce poate lua valori de la 1 la 6, fiecare cu probabilitate egală de 1/6. Speranța matematică (i.e. media) a lui X este Prin urmare, varianța lui X este:
Formula generală pentru varianța lui X , dacă avem un zar cu n fețe , este:
Proprietăți Proprietăți fundamentale Varianța este non-negativă, deoarece din ridicarea la pătrat poate rezulta doar un număr pozitiv sau zero:
Varianța unei variabile aleatorii constante este zero, și, invers, dacă varianța unei variabile este zero, atunci variabila este o constantă:
Varianța este invariabilă relativ la schimbările parametrului de poziție. Astfel, dacă o constantă este adăugată (prin adiție) tuturor valorilor pe care le ia variabila, varianța rămâne neschimbată:
Dacă toate valorile variabilei sunt multiplicate cu o constantă, varianța variabilei este multiplicată cu pătratul acelei constante (adică proprietatea de scalare):
Varianța sumei a două variabile aleatorii este dată de relația:
unde reprezintă covarianța. În general, dacă avem o sumă de variabile aleatorii, , relația se prezintă ca:
Aceste rezultate conduc la varianța combinațiilor liniare:
Dacă variabilele aleatorii sunt astfel încât:
se poate afirma despre ele că sunt necorelate. Rezultă din ecuația combinațiilor liniare că dacă variabilele aleatorii sunt necorelate, varianța sumei lor este egală cu suma varianțelor lor:
Deoarece variabilele aleatorii independente sunt mereu necorelate, ecuația de mai sus este valabilă doar când variabilele aleatorii sunt independente. Prin urmare, independența este o condiție suficientă, dar nu și necesară, pentru ca varianța sumei să fie egală cu suma varianțelor (i.e. ecuația de mai sus să fie adevărată).
Suma variabilelor necorelate (formula lui Bienaymé) Unul din motivele pentru care varianța este preferată altor măsuri de dispersie este că varianța sumei variabilelor aleatorii necorelate este egală cu suma varianțelor lor:
Această ecuația se numește "formula lui Bienaymé"Loève, M. (1977) "Probability Theory", Graduate Texts in Mathematics, Volume 45, 4th edition, Springer-Verlag, p. 12., fiind descoperită în 1853.Bienaymé, I.-J. (1853) "Considérations à l'appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabilité dans la méthode des moindres carrés", Comptes rendus de l'Académie des sciences Paris, 37, p. 309–317; digital copy available Bienaymé, I.-J. (1867) "Considérations à l'appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabilité dans la méthode des moindres carrés", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Série 2, Tome 12, p. 158–167; digital copy available Deseori presupune condiția ca variabilele să fie independente, deși simpla lipsă de corelare este suficientă. Deci, dacă toate variabilele au aceeași varianță σ2, atunci, deoarece împărțirea cu n este o transformare liniară, formula varianței mediei lor devine:
Aceasta înseamnă că varianța mediei scade atunci când n crește. Această formulă pentru varianța mediei este utilizată în definirea erorii standard a mediei eșantionului, care este utilizată in teorema limitei centrale.
Pentru demonstrarea formulei lui Bienaymé, este suficient să se arate că:
Această formulă poate fi demonstrată prin inducție, pornindu-se de la definiția varianței:
Folosind proprietatea de liniaritate a speranței matematicii (i.e. mediei) și ipoteza independenței variabilelor (sau, cel puțin, a lipsei de corelare) X și Y, ecuația de mai sus se poate dezvolta în felul următor:
Suma variabilelor corelate În general, dacă variabilele sunt corelate, atunci varianța sumei lor este egală cu suma covarianțelor lor:
(Notă: A doua egalitate se datorează faptului că )
Aici reprezintă covarianța, care este zero pentru variabilele aleatorii independente. Formula stipulează că varianța sumei de variabile este egală cu suma tuturor elementelor din matricea de covarianță a variabilelor componente. Următoarea expresie stipulează, în mod echivalent, că varianța sumei de variabile este suma elementelor diagonalei matricei covarianțelor plus de două ori suma elementelor de deasupra diagonalei matricei. Datorită faptului că matricea de covarianță este simetrică, se pot lua în locul elementelor de deasupra diagonalei, elementele de dedesubtul diagonalei. Această formulă se folosește în teoria coeficientului Alpha a lui Cronbach, aceasta fiind esențială în teoria clasică a testării.
Deci dacă variabilele au varianțele egale cu σ 2 și corelația medie a variabilelor este ρ, atunci varianța mediei lor este:
Aceasta implică faptul că varianța mediei crește cu media corelațiilor. Cu alte cuvine, observațiile adiționale corelate nu sunt la fel de efective în reducerea incertitudinii mediei, precum sunt observațiile adiționale independente. Mai mult, dacă variabilele au varianța egală cu 1, în cazul standardizării spre exemplu, formula se simplifică:
Această formulă este încorporată în formula de predicție Spearman-Brown a teoriei clasice a testării. Aceasta converge la ρ dacă n tinde la infinit, presupunând că corelația medie rămâne constantă sau converge de asemenea. Încât, pentru varianța mediei variabilelor standardizate cu corelații constante sau având corelația medie convergentă, obținem:
În concluzie, varianța mediei unui număr mare de variabile standardizate este aproximativ egală cu corelația lor medie. Aceasta înseamnă că media variabilelor corelate ale eșantionului nu converge, în general, la media populației, deși legea numerelor mari stipulează că media eșantionului va converge la media populației dacă variabilele sunt independente.
Notația matricială pentru varianța unei combinații liniare Fie un vector coloană cu variabile aleatorii <, și un vector coloană cu scalari . Prin urmare, reprezintă o combinație liniară a acestor variabile aleatorii, unde prin este notată transpusa matricei c. De asemenea, fie matricea covarianței lui . Varianța lui este dată de:
Sumă ponderată de variabile Proprietatea de scalare, formula lui Bienaymé, împreună cu proprietatea covarianței , implică următoarea expresie:
Din cele de mai sus rezultă că efectul ponderării variabilelor (coeficienții a și b) este disproporționat pentru calcularea varianței. Spre exemplu, presupunând că variabilele X și Y sunt necorelate, iar ponderea lui X este de două ori mai mare decât ponderea lui Y (i.e. a = 2b), atunci ponderea lui X în formula varianței va fi de patru ori mai mare decât ponderea lui Y.
Varianța ponderată a n variabile poate fi scrisă ca:
Produs de variabile independente Dacă două variabile X și Y sunt independente, varianța produsului lor este dată de
Prin manipulări, ecuația poate fi transformată la:
Produs de variabile dependente statistic În general, dacă două variabile sunt dependente statistic, varianța produsului lor este dată de următoarea formulă:
Descompunere Formula generală pentru descompunerea varianței, sau legea varianței totale, unde și sunt două variabile aleatorii, iar varianța lui există, este: