În matematică, un spațiu funcțional este o mulțime de funcții cu același domeniu și codomeniu fixe. Adesea, domeniul și/sau codomeniul vor avea o structură suplimentară care este moștenită de spațiul funcțional. De exemplu, funcțiile definite pe orice mulțime X cu valori într-un spațiu vectorial au o structură naturală de spațiu vectorial, dată de adunarea pe puncte și de înmulțirea cu un scalar. În alte scenarii, spațiul funcțional ar putea moșteni o structură topologică sau metrică, prin urmare, de unde denumirea de spațiu funcțional.

În algebra liniară miniatura| Adunarea funcțiilor: Suma funcției sinus cu exponențiala este cu Fie un spatiu vectorial peste un corp și fie o mulțime. Funcțiile definite pe cu valori în pot primi structura de spațiu vectorial peste unde operațiile sunt definite pe puncte, adică pentru orice , orice din și orice din , se definește

Atunci când domeniul are o structură suplimentară, s-ar putea lua în considerare în schimb submulțimea (sau ) tuturor acestor funcții care respectă structura respectivă. De exemplu, dacă este și spațiu vectorial peste , mulțimea aplicațiilor liniare formează un spațiu vectorial peste cu operații pe puncte (adesea notate Hom()). Un astfel de spațiu este spațiul al lui V: mulțimea cu adunarea și înmulțirea cu scalar definite pe puncte.

Exemple Spațiile funcționale apar în diferite domenii ale matematicii:

În teoria mulțimilor, mulțimea funcțiilor definite pe X cu valori în Y poate fi notată X → Y sau Y X. Ca un caz special, unei mulțimi X poate fi identificată cu mulțimea tuturor funcțiilor de la X la {0, 1}, notată 2X. Mulțimea bijecțiilor de la X la Y este notată cu . Notatia factorial poate fi utilizată pentru permutările unei singure mulțimi . În se observă aceleași lucru pentru transformări liniare continue, incluzând , iar multe dintre exemplele majore sunt spații funcționale care au o topologie; cele mai cunoscute exemple sunt spațiile Hilbert și spațiile Banach. În mulțimea tuturor funcțiilor definite pe numerele naturale cu valori într-o anumită mulțime X se numesc . Se compune din mulțimea tuturor șirurilor posibile ale elementelor lui X. În topologie, se poate încerca să se aplice o topologie pe spațiul funcțiilor continue definite pe un spațiu topologic X cu valori în altul Y, utilitatea depinzând de natura spațiilor. Un exemplu utilizat în mod obișnuit este , cum ar fi . Există și pe spațiul funcțiilor din teoria mulțimilor (adică nu neapărat funcții continue) YX. În acest context, această topologie este denumită și topologia convergenței punctuale. În , studiul este în esență cel al invarianților discreți ai spațiilor funcționale; În teoria proceselor stohastice, problema tehnică de bază este cum să se construiască o pe un spațiu funcțional al căilor procesului (funcții de timp); În teoria categoriilor, spațiul funcțional se numește sau . Apare într-un fel ca reprezentare a ; dar și ca functor (simplu), de tip [ X , -], apare ca al unui functor de tip (-×X) pe obiecte; În programarea funcțională și , sunt folosite pentru a exprima ideea de . În , ideea de bază este de a găsi construcții din care pot să modeleze calculul lambda, creând o cu comportament favorabil. În , date fiind două reprezentări finit-dimensionale V și W ale unui grup G, se poate forma o reprezentare a lui G peste spațiul vectorial al aplicațiilor liniare Hom(V,W), numită .

Analiza funcțională este organizată în jurul tehnicilor adecvate pentru a aduce spațiile de funcții ca la îndemâna ideilor care se vor aplica spațiilor normate de dimensiune finită.

de funcții indefinit derivabile rapid descrescătoare și duale Spațiul Lp funcții continue înzestrate cu topologia normei uniforme funcții continue pe funcții mărginite funcții continue care dispar la infinit funcții continue cu primele derivate continue. funcții indefinit derivabile funcții indefinit derivabile cu suport compact pe topologia marginii

funcții olomorfe funcții liniare funcții liniare pe porțiuni funcții continue, topologie compactă deschisă toate funcțiile, spațiul convergenței punctuale

funcțiile , cunoscute și sub numele de spațiul

Normă Dacă este un element al spațiului funcțional al tuturor funcțiile continue care sunt definite pe un interval închis [a, b], norma definită pe este valoarea absolută maximă a lui pentru ,

Note

Bibliografie Kolmogorov, AN, și Fomin, SV (1967). Elemente ale teoriei funcțiilor și analizei funcționale. Curierul Dover Publicații. Stein, Elias; Shakarchi, R. (2011). Analiza funcțională: o introducere în alte subiecte în analiză. Princeton University Press.

Categorie:Algebră liniară Categorie:Pagini cu traduceri nerevizuite