dreapta|miniatura|300x300px| Tensorul de tensiune Cauchy de ordinul doi în baza (e1, e2, e3): sau Coloanele reprezintă vectorii tensiune care acționează în centrul cubului, în raport cu planele ortogonale pe e1, e2 și e3. Când este dat în această bază, produsul celor doi tensori, efecutat ca o înmulțire de matrice, dă vectorul tensiune în acel punct, care își are partea de forfecare în planul ortogonal pe . În matematică, un tensor este un obiect geometric care asociază într-o manieră multi-liniară vectori geometrici, scalari și alți tensori cu un tensor rezultat. Vectorii și scalarii care sunt adesea folosiți în fizica elementară și în aplicațiile inginerești sunt considerați cei mai simpli tensori. Vectorii din al spațiului vectorial, care furnizează vectorii geometrici, sunt, de asemenea, considerați tensori. În acest context, cuvântul geometric are scopul de a sublinia independența de orice selecție a unui sistem de coordonate.
Un exemplu elementar de transformare descrisă ca tensor este produsul scalar, care transformă doi vectori într-un scalar. Un exemplu mai complex este , care ia un vector de direcție ca intrare și îl transformă în vectorul de tensiune , care este forța (pe unitatea de suprafață) exercitată de materialul de pe partea negativă a planului ortogonal pe asupra materialului de pe partea pozitivă a planului, exprimând astfel o relație între acești doi vectori, prezentată în figură (dreapta). Produsul vectorial, în care doi vectori sunt transformați într- un al treilea, nu este strict un tensor, deoarece își schimbă semnul sub acele transformări care schimbă orientarea sistemului de coordonate. permite însă o manipulare convenabilă a produsului vectorial în sisteme de coordonate tridimensionale egal orientate.
Considerând o bază a unui spațiu vectorial real, de exemplu un sistem de coordonate în spațiul ambiant, un tensor poate fi reprezentat ca un organizat de valori numerice în raport cu această bază specifică. Schimbarea bazei transformă valorile din tablou într-un mod caracteristic care permite definirea tensorilor ca obiecte care aderă la acest comportament transformator. De exemplu, există invarianți de tensori care trebuie să fie conservați sub orice schimbare a bazei, făcând astfel ca numai anumite tablouri multidimensionale de numere să constituie un tensor. Matricea reprezentând nu este deci un tensor, din cauza schimbării semnului sub transformările care schimbă orientarea.
Deoarece componentele vectorilor și ale dualilor lor se transformă în mod diferit sub schimbarea bazelor lor duale, există o care leagă matricele care reprezintă tensorul într-o bază cu cele care îl reprezintă în cealaltă. Numerele, respectiv ale (indicii ), și (indici ) de la intrarea și ieșirea unui tensor determină tipul (sau valența) tensorului, o pereche de numere naturale , care determină forma exactă a legii de transformare. unui tensor este suma acestor două numere.
Ordinul (numit și gradul sau ) unui tensor este deci suma ordinelor argumentelor sale plus ordinea tensorului rezultat. Aceasta este chiar dimensiunea matricei de numere necesare pentru a reprezenta tensorul în raport cu o bază specifică sau, echivalent, cu numărul de indici necesari pentru etichetarea fiecărei componente din acea matrice. De exemplu, într-o bază fixă, o aplicație liniară standard care asociază un vector la un alt vector este reprezentată de o matrice (o matrice bidimensională) și, prin urmare, este un tensor de ordinul doi. Un vector simplu poate fi reprezentat ca o matrice unidimensională și, prin urmare, este un tensor de ordinul I. Scalarii sunt numere simple și sunt deci tensori de ordinul 0. În acest fel, tensorul reprezentând produsul scalar, care primește doi vectori și produce un scalar, are ordinul , egal cu tensorul de tensiune, care primește un vector și returnează un altul: . care transformă doi vectori într-un vector, ar avea ordinul
Colecția de tensori pe un spațiu vectorial și dualul său formează o , care permite produse de tensori arbitrari. Aplicațiile simple ale tensorilor de ordinul , care pot fi reprezentate ca matrice pătrată, pot fi rezolvate prin aranjarea inteligentă a vectorilor transpuși și prin aplicarea regulilor de înmulțire a matricilor, dar produsul tensorial nu trebuie confundat cu aceasta.
Tensorii sunt importanți în fizică deoarece oferă un cadru matematic concis pentru formularea și rezolvarea problemelor de fizică în domenii precum mecanica (tensiunea, elasticitatea, mecanica fluidelor, momentul de inerție etc.), electrodinamică (, , permitivitate, susceptibilitatea magnetică, ...) sau relativitate generală (tensorul de energie-tensiune, tensorul de curbură, ...) și altele. În aplicații, este comună studierea situațiilor în care poate exista un tensor diferit în fiecare punct al unui obiect; de exemplu, tensiunea dintr-un obiect poate varia de la o locație la alta. Aceasta duce la conceptul de câmp de tensori. În unele domenii, câmpurile de tensori sunt atât de omniprezente încât se numesc pur și simplu „tensori”.
Tensorii au fost concepuți în 1900 de Tullio Levi-Civita și Gregorio Ricci-Curbastro, care au continuat munca anterioară a lui Bernhard Riemann și a lui Elwin Bruno Christoffel și alții, ca parte a . Conceptul a permis o formulare alternativă a geometriei diferențiale intrinseci a unei varietăți sub forma unui tensor de curbură Riemann.
Definiție Deși aparent diferite, mai multe abordări pentru definirea tensorilor descriu același concept geometric folosind diferite limbaje și la niveluri diferite de abstractizare.
Ca matrice multidimensionale Un tensor poate fi reprezentat ca o matrice (potențial multidimensională, deși o matrice multidimensională nu este neapărat o reprezentare a unui tensor, așa cum este discutat mai jos cu privire la holori). Așa cum un vector într-un spațiu -dimensional este reprezentat ca o matrice unidimensională de lungime în raport cu o bază dată, orice tensor în raport cu o bază este reprezentat de o matrice multidimensională. De exemplu, un operator liniar este reprezentat într-o bază ca o matrice pătrată . Numerele din matricea multidimensională sunt cunoscute drept componentele scalare ale tensorului sau pur și simplu componentele lui. Ele sunt notate cu indicii care le dau poziția în matrice, marcați ca , după numele simbolic al tensorului. De exemplu, componentele unui tensor de ordin ar putea fi notate cu , unde și sunt indici cu valori de la la , sau cu . Indicele este afișat jos sau la exponent în funcție de proprietățile de transformare ale tensorului, descrise mai jos. Astfel, în timp ce și pot fi ambii exprimați ca matrice n pe n, și sunt numeric legate prin , diferența din legile lor de transformare indică faptul că ar fi nepotrivită adunarea lor între ei. Numărul total de indici necesari pentru a identifica fiecare componentă unică este egal cu matricei și se numește ordin, grad sau rang al tensorului. Cu toate acestea, termenul „rang” are în general în contextul matricelor și tensorilor.
Așa cum componentele unui vector se schimbă atunci când schimbăm baza spațiului vectorial, componentele unui tensor se schimbă și ele sub o astfel de transformare. Fiecare tip de tensor vine echipat cu o lege de transformare care detaliază modul în care componentele tensorului răspund la o . Componentele unui vector pot răspunde în două moduri distincte la o schimbare de bază (vezi ), unde vectorii bazei noi sunt exprimați în termeni de vectorii bazei vechi astfel:
Aici sunt elementele matricei de schimbare a bazei, iar în expresia cea mai din dreapta însumarea a fost suprimată: aceasta este , care va fi folosită în acest articol. Convenția de însumare Einstein, pe scurt, cere să se ia o sumă peste toate valorile indicilor ori de câte ori același simbol apare și la indice și la exponent în același termen. De exemplu, în conformitate cu această convenție, Componentele ale unui vector coloană se transformă cu inversa matricei ,
unde cu circumflex deasupra se notează componentele în noua bază. Aceasta se numește o lege de transformare contravariantă, deoarece vectorul se transformă prin inversul schimbării bazei. În schimb, componentele ale unui covector (sau vector linie) se transformă chiar cu matricea ,
Aceasta se numește o lege de transformare covariantă, deoarece covectorul se transformă prin aceeași matrice ca matricei de schimbare a bazei. Componentele unui tensor mai general se transformă printr-o combinație de transformări covariante și contravariate, cu o lege de transformare pentru fiecare indice. Dacă matricea de transformare a unui indice este matricea inversă a schimbării de bază, atunci indicele este numit contravariant și este notat convențional cu indicele la exponent. Dacă matricea de transformare a unui indice este transformarea de bază în sine, atunci indicele este denumit covariant și este notat cu un indice inferior.
Ca exemplu simplu, matricea unui operator liniar în raport cu o bază este o matrice dreptunghiulară care se transformă, sub schimbarea de bază exprimată prin matricea prin . Pentru elementele individuale ale matricei, această lege de transformare are forma astfel că tensorul corespunzător matricei unui operator liniar are un indice covariant și un indice contravariant: este de tipul (1,1).
Combinațiile de componente covariante și contravariante cu același indice permit exprimarea invarianților geometrici. De exemplu, faptul că un vector este același obiect în diferite sisteme de coordonate poate fi reprezentat prin următoarele ecuații, folosind formulele definite mai sus:
Unde este , care funcționează similar cu matricea identitate și are efectul redenumirii indicilor ( în în acest exemplu). Aceasta indică mai multe trăsături ale notației componentelor capacitatea de a rearanja termenii după voie (comutativitatea), necesitatea de a folosi indicatori diferiți atunci când se lucrează cu mai multe obiecte în aceeași expresie, abilitatea de a redenumi indicii și modul în care tensorii contravarianți și covarianți se combină astfel încât toate instanțele matricei de transformare și inversul său să se anuleze, astfel încât o expresie ca să poată fi văzută imediat ca fiind identică din punct de vedere geometric în toate sistemele de coordonate.
În mod similar, un operator liniar, privit ca un obiect geometric, nu depinde de fapt de o bază: este doar o aplicație liniară care acceptă un vector ca argument și produce un alt vector. Legea transformării pentru modul în care matricea componentelor unui operator liniar se modifică odată cu baza este în concordanță cu legea de transformare pentru un vector contravariant, astfel încât acțiunea unui operator liniar pe un vector contravariant este reprezentată în coordonate ca produsul matricial al respectivelor reprezentări pe coordonate. Adică componentele sunt date de . Aceste componente se transformă contravariant, deoarece
Legea transformării pentru un tensor de ordin cu p indici contravarianți și q indici covarianți este, astfel, dată ca:
Aici, indicii primi reprezintă componentele în noile coordonate, iar indicii neprimi reprezintă componentele în vechile coordonate. Un astfel de tensor este de ordin sau tip . Termenii „ordin”, „tip”, „rang”, „valență” și „grad” sunt uneori utilizați pentru același concept. Aici, termenul „ordin” sau „ordin total” va fi folosit pentru dimensiunea totală a matricei (sau generalizarea acesteia în alte definiții), din exemplul precedent, iar termenul „tip” pentru perechea care dă numărul de indici contravarianți și covarienți. Un tensor de tip este, de asemenea, numit -tensor pe scurt.
Această discuție motivează următoarea definiție formală:
Definiția unui tensor ca o matrice multidimensională care satisface o lege de transformare datează de la opera lui Ricci.