+ Reprezentări în perspectivă 180px 180px 3-cub (cub) 4-cub (tesseract) În geometrie, un hipercub este corespondentul într-un spațiu n-dimensional al pătratului din spațiul bidimensional (n = 2), respectiv al cubului din spațiul tridimensional (n = 3). Sunt politopuri regulate, închise, compacte, convexe, al căror schelet este format din segmente de aceeași lungime, paralele, opuse, aliniate cu direcțiile dimensiunilor, și perpendiculare unele pe altele. Lungimea celor mai lungi diagonale ale unui hipercub în n dimensiuni este .
Un hipercub n-dimensional este numit adesea n-cub sau, uneori, cub n-dimensional. Termenul politop de măsură () (folosit inițial de Elte în 1912) este de asemenea întâlnit, în special în lucrările lui H. S. M. Coxeter, care notează hipercuburile cu γn.Coxeter, Regular…, pp. 122–123 (Fig 7.2)
Hipercubul este un caz particular al (care este numit și „n-ortotop”).
Hipercubul unitar este un hipercub ale cărui laturi au lungimea de o unitate. Hipercubul care are cele 2n vârfuri din Rn cu fiecare coordonată egală cu 0 sau 1 este numit „hipercubul unitate”.
Construcția thumb|300px|Schema generării unui 4-cub dintr-un punct thumb|256px|Animație cu generarea unui 4-cub dintr-un punct right|thumb|256px|Proiecția unui 4-cub (tesseract) în rotație Un hipercub poate fi definit prin creșterea numărului de dimensiuni:
0 – Un punct este un hipercub în zero dimensiuni. 1 – Deplasând punctul cu o unitate de lungime de-a lungul unei dimensiuni se va obține un segment, care este un hipercub cu o dimensiune. 2 – Deplasând acest segment într-o direcție perpendiculară pe direcția segmentului, cu o unitate de lungime, se va obține un pătrat, care este un hipercub în două dimensiuni. 3 – Deplasând acest segment într-o direcție perpendiculară pe planul pătratului, cu o unitate de lungime, se va obține un cub, care este un hipercub în trei dimensiuni. 4 – Deplasând acest segment într-o direcție perpendiculară pe celelalte trei dimensiuni, cu o unitate de lungime, se va obține un 4-cub, care este un hipercub în patru dimensiuni (numit și tesseract).
Procedeul se poate generaliza pentru orice număr de dimensiuni. Acest proces de parcurgere a volumelor poate fi formalizat matematic ca o : hipercubul d-dimensional este suma Minkowski a d segmente mutual perpendiculare, prin urmare este un exemplu de zonotop.
1-scheletul hipercubului este .
Coordonate Hipercubul unitar în n dimensiuni este anvelopa convexă a punctelor date de toate permutările semnelor coordonatelor carteziene . El are laturile de lungime 1 și un volum n-dimensional de 1.
Un hipercub n-dimensional este adesea privit ca anvelopa convexă a tuturor permutărilor semnelor coordonatelor . Această formă este des folosită datorită ușurinței scrierii coordonatelor. În acest caz lungimea laturilor este 2, iar volumul său n-dimensional este 2n.
Elemente Orice n-cub pentru n > 0 este format din elemente, sau n-cuburi de dimensiune inferioară, plasate pe suprafețele (n−1)-dimensionale ale hipercubului de proveniență. Fețele sale sunt hipercuburi (n−1)-dimensionale. Un hipercub n-dimensional are 2n elemente care-l mărginesc: o dreaptă unidimensională are 2 puncte de capăt; un pătrat bidimensional are 4 laturi; un cub tridimensional are 6 fețe bidimensionale, un 4-cub (tesseract) are 8 celule tridimensionale. Numărul de vârfuri ale unui hipercub este (de exemplu cubul are vârfuri (colțuri)).
Numărul de hipercuburi m-dimensionale (în continuare se va folosi această expresie pentru hipercuburi de dimensiuni inferioare) pe frontierele unui n-cub este
, unde unde n! este factorial de n.
De exemplu, pe frontierele unui 4-cub (n = 4) există 8 cuburi (tip 3-cub), 24 de pătrate (2-cub), 32 de segmente (1-cub) și 16 vârfuri (0-cub).
Această relație poate fi demonstrată pe cale combinatorică: fiecare dintre vârfuri definește un capăt pe frontierele m-dimensionale. Există moduri în care se pot alege liniile ("laturile") care definesc subspațiul definit de aceste laturi. Dar, deoarece fiecare latură apare de ori în vârfuri, numărul vârfurilor se obține prin împărțirea totalului cu acest număr.
Această relație se poate folosi pentru a obține formula pentru suprafața hipercubului n-dimensional. Această suprafață este: .
Aceste valori pot fi obținute cu relația liniară recursivă
, cu și elementele încă nedefinite (unde , , sau ) .
De exemplu, prin extensia pătratului, în fiecare din cele 4 colțuri ale sale apare câte un segment, din care se vor forma pătratele care vor mărgini cubul, obținând-se în total = 12 segmente (muchiile cubului).
+ Elementele hipercuburilor (secvența OEIS A038207)) m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n n-cub Denumiri alternative SimbolSchläfliCoxeterVârf0-fețe Latură1-fețe Fețe2-fețe Celulă3-fețe 4-fețe 5-fețe 6-fețe 7-fețe 8-fețe 9-fețe10-fețe 0 0-cub PunctMonon ( ) 1 1 1-cub SegmentDion Johnson, Norman W., Geometries and Transformations, Cambridge University Press, 2018, p. 224{} 2 1 2 2-cub PătratTetragon{4} 4 4 1 3 3-cub CubHexaedru{4,3} 8 12 6 1 4 4-cub Tesseract8-celule{4,3,3} 16 32 24 8 1 5 5-cub PentaractDeca-5-top{4,3,3,3} 32 80 80 40 10 1 6 6-cub HexaractDodeca-6-top{4,3,3,3,3} 64 192 240 160 60 12 1 7 7-cub HeptaractTetradeca-7-top{4,3,3,3,3,3} 128 448 672 560 280 84 14 1 8 8-cub OctaractHexadeca-8-top{4,3,3,3,3,3,3} 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1 9 9-cub EnearactOctodeca-9-top{4,3,3,3,3,3,3,3} 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1 10 10-cub DecaractIcosa-10-top{4,3,3,3,3,3,3,3,3}1024512011520153601344080643360960180201
Grafuri Un n-cub poate fi proiectat într-un poligon regulat cu 2n laturi (Poligon Petrie). Tabelul următor prezintă exemple de la segment până la 15-cub.
+ Proiecția ortogonală a poligoanelor Petrie160pxSegment160pxPătrat160pxCub160px4-cub160px5-cub160px6-cub160px7-cub160px8-cub160px9-cub160px10-cub160px11-cub160px12-cub160px13-cub160px14-cub160px15-cub
Familii conexe de politopuri Hipercuburile aparțin uneia dintre puținele familii de politopuri regulate care sunt reprezentate în orice număr de dimensiuni.
Familia de hipercuburi este una dintre cele trei familii de politopuri regulate, notate de Coxeter cu γn. Celelalte două sunt familia pereche a hipercubului, ortoplecșii, notați cu βn, și simplexurile, notate cu αn. A patra familie, fagurii hipercubici a fost notată de el cu δn.
O altă familie înrudită de politopuri uniforme semiregulate sunt , care sunt construite din hipercuburi prin ștergerea alternantă de vârfuri și adăugarea în goluri a simplexurilor, forme notate cu hγn.
n-cuburile pot fi combinate cu perechile lor (ortoplecșii) pentru a forma politopuri compuse:
în două dimensiuni se obține octagrama stelată, simbol Schläfli {8/2}, în trei dimensiuni se obține compusul de cub și octaedru, în patru dimensiuni se obține compusul de tesseract și 16-celule.
Relația cu (n−1)-simplexurile Graful laturilor unui n-hipercub este izomorf cu a laticei fețelor (n−1)-simplexului. Acest fapt poate fi observat orientând diagrama n-hipercubului astfel încât două noduri să fie aliniate vertical, nodul de sus corespunzând (n−1)-simplexului însuși, iar cel de jos politopului nul. Fiecare nod conectat la nodul de sus marchează într-un mod unic o față (față n−2) a (n−1)-simplexului, fiecare nod conectat la aceste noduri marchează o față n−3 a simplexului, și tot așa, iar nodurile conectate nodului de jos marchează vârfurile simplexului.
Metoda poate fi folosită pentru a obține în mod eficient laticea fețelor unui (n−1)-simplex, deoarece algoritmii de enumerare a laticei fețelor aplicabili la politopuri în general necesită capacități de calcul mai mari.
Hipercuburi generalizate regulate pot fi definite în spațiul complex Hilbert drept hipercuburi generalizate, γ = p{4}2{3}...2{3}2, sau ... Există soluții reale pentru p = 2, de exemplu γ = γn = 2{4}2{3} ... 2{3}2 = {4, 3, … , 3}. Pentru p > 2, ele există în . Fețele sunt (n−1)-cuburi generalizate, iar vârfurile sunt simplexuri regulate.
Perimetrele poligoanelor regulate din proiecțiile ortogonale ale acestora sunt poligoane Petrie. Pătratele generalizate (n = 2) sunt trasate cu p-laturi în culori alternante, roșu și albastru, iar n-cuburile sunt trasate cu linii negre.
Numărul elementelor de tip m-față ale n-cubului p-generalizat este: . Există pn vârfuri și pn fețe. .
+ Hipercuburi generalizate p = 2 p = 3 p = 4p = 5p = 6p = 7p = 8100pxγ = {4} = 4 vârfuri100pxγ = 9 vârfuri100pxγ = 16 vârfuri100pxγ = 25 vârfuri100pxγ = 36 vârfuri100pxγ = 49 vârfuri100pxγ = 64 vârfuri100pxγ = {4,3} = 8 vârfuri100pxγ = 27 vârfuri100pxγ = 64 vârfuri100pxγ = 125 vârfuri100pxγ = 216 vârfuri100pxγ = 343 vârfuri100pxγ = 512 vârfuri100pxγ = {4,3,3}= 16 vârfuri100pxγ = 81 vârfuri100pxγ = 256 vârfuri100pxγ = 625 vârfuri100pxγ = 1296 vârfuri100pxγ = 2401 vârfuri100pxγ = 4096 vârfuri100pxγ = {4,3,3,3}= 32 vârfuri100pxγ = 243 vârfuri100pxγ = 1024 vârfuri100pxγ = 3125 vârfuri100pxγ = 7776 vârfuriγ = 16,807 vârfuriγ = 32,768 vârfuri100pxγ = {4,3,3,3,3}= 64 vârfuri100pxγ = 729 vârfuri100pxγ = 4096 vârfuri100pxγ = 15,625 vârfuriγ = 46,656 vârfuriγ = 117,649 vârfuriγ = 262,144 vârfuri100pxγ = {4,3,3,3,3,3}= 128 vârfuri100pxγ = 2187 vârfuriγ = 16,384 vârfuriγ = 78,125 vârfuriγ = 279,936 vârfuriγ = 823,543 vârfuriγ = 2,097,152 vârfuri100pxγ = {4,3,3,3,3,3,3}= 256 vârfuri100pxγ = 6561 vârfuriγ = 65,536 vârfuriγ = 390,625 vârfuriγ = 1,679,616 vârfuriγ = 5,764,801 vârfuriγ = 16,777,216 vârfuri
Note
Bibliografie p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n dimensions (n ≥ 5)
Lectură suplimentară
Legături externe
() () www.4d-screen.de (Rotation of 4D – 7D-Cube) () Rotating a Hypercube () de Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrations Project. Stereoscopic Animated Hypercube () Rudy Rucker and Farideh Dormishian's Hypercube Downloads
Categorie:Geometrie multidimensională Categorie:Cuburi