thumb|400px|right|Un poligon este un politop bidimensional. Poligoane de diferite tipuri: deschis (fără contur), doar conturul (fără interior), închis (incluzând atât conturul, cât și interiorul) și cu autointersectare și autosuprapunere (cu diferite densități în diferite regiuni) În geometria elementară, un politop este un obiect geometric cu fețe plane. Este o generalizare pentru oricâte dimensiuni a poliedrelor tridimensionale. Un politop poate exista în orice număr de dimensiuni n ca politop n-dimensional (sau n-politop). Fețe plane înseamnă că fețele unui (k+1)-politop sunt formate din k-politopuri care au (k−1)-politopuri în comun. De exemplu, un poligon bidimensional este un 2-politop iar un poliedru tridimensional este un 3-politop.
Unele teorii generalizează în continuare ideea de a include aici și obiecte nelimitate, apeirotopuri și teselări, descompuneri sau învelișuri ale varietăților curbate, inclusiv poliedre sferice, și politopuri abstracte teoretice.
Politopurile în mai mult de trei dimensiuni au fost descoperite de Ludwig Schläfli. Termenul german polytop a fost inventat de matematicianul Reinhold Hoppe și a fost introdus ca atare în literatura matematică engleză de Alicia Boole Stott.
Abordări ale definiției Astăzi termenul politop este unul comun, care cuprinde o gamă largă de obiecte, iar în literatura matematică se găsesc diverse definiții. Multe dintre aceste definiții nu sunt echivalente între ele, rezultând mulțimi diferite de obiecte care ar fi politopuri. Acestea au diferite abordări, cu scopul generalizării politopurilor convexe pentru a include și alte obiecte cu proprietăți similare.
Abordarea inițială de către Ludwig Schläfli, Thorold Gosset și alții a pornit de la extinderea în patru sau mai multe dimensiuni a relației dintre poligonul în două dimensiuni și poliedrul în trei.Coxeter (1973)
Încercările de generalizare ale caracteristicii Euler ale poliedrelor la politopurile cu un număr mai mare de dimensiuni a condus la dezvoltarea topologiei și la tratarea descompunerilor sau a analog politopurilor. În această abordare, un politop poate fi privit ca o teselare sau descompunere a unor forme date. Un exemplu de astfel de abordare definește un politop ca o mulțime de puncte care admit o descompunere simplicială. În această definiție, un politop este o reuniune a unui număr finit de simplexuri, cu proprietatea suplimentară că pentru oricare două simplexuri care au o intersecție nevidă, acestă intersecție este un vârf, latură, sau o față n-dimensională a acestora.Grünbaum (2003) Această definiție nu acoperă politopurile stelate cu structuri interne, fiind limitativă în unele domenii ale matematicilor.
Descoperirea poliedrelor stelate și a altor construcții neobișnuite a condus la considerarea unui poliedru ca o suprafață de delimitare, ignorând interiorul său. Cromwell, P.; Polyhedra, CUP (ppbk 1999) pp 205 ff. În această interpretare, politopurile convexe în p-spațiu sunt echivalente cu pavarea suprafețelor (p−1)-sferelor, iar altele pot fi pavate cu (p−1)-suprafețe în alt fel de spații: plane, eliptice sau toroidale, (v. și poliedru toroidal). Un poliedru este văzut ca o suprafață ale cărei fețe sunt poligoane, un 4-politop ca o hipersuprafață ale cărei fețe sunt poliedre ș.a.m.d.
Ideea de a construi un politop cu un număr de dimensiuni mai mare din cele cu un număr de dimensiuni mai mic a fost extinsă „în jos”, laturile fiind considerate drept 1-politopuri, mărginite de o pereche de puncte, iar aceste puncte (vertexuri) drept 0-politopuri. Această abordare este folosită, de exemplu, în teoria .
În unele domenii ale matematicilor, termenii de "politop" și "poliedru" au alt sens: un poliedru este un obiect generic, în oricâte dimensiuni (ceea ce în articolul de față este numit politop) iar sensul termenului politop este de poliedru împreună cu elementele (suprafețe în cazul spațiului tridimensional) care îl delimitează. Nemhauser and Wolsey, "Integer and Combinatorial Optimization," 1999, , Definition 2.2. Acestă terminologie particulară este tipică pentru politopurile și poliedrele convexe. Cu această terminologie un poliedru convex este intersecția unui număr finit de semispațiiși este definit de fețele sale, în timp ce un politop convex este anvelopa convexă a unui număr finit de puncte și este definit de vârfurile sale.
Politopurile cu un număr mic de dimensiuni au nume standard: Dimensiuniale politopuluiDescriere Johnson, Norman W., Geometries and Transformations, Cambridge University Press, 2018, p. 224−1Politop nul0Monon1Dion2Poligon3Poliedru
Elemente Un politop are elemente diferit dimensionale: vârfuri, laturi, fețe, celule ș.a.m.d. Terminologia acetora nu este identică la toți autorii. De exemplu, unii autori spun față când se referă la elementele (n−1)-dimensionale, în timp ce alții spun față exclusiv la elementele bidimensionale (elemente de tip 2-față). Alți autori folosesc expresii ca j-față sau j-fațetă pentru a indica un element cu j dimensiuni (terminologia folosită și pe Wikipedia în limba română). Unii spun frontiere când se referă la muchii, în timp ce H.S.M. Coxeter spune celule la elementele (n−1)-dimensionale. Regular polytopes, p. 127 The part of the polytope that lies in one of the hyperplanes is called a cell
Termenii folosiți în acest articol sunt cei din tabelul următor:
DimensiuneaelementuluiTermen(pt. un n-politop)−1Politop nul (necesar în teoria politopurilor abstracte) Johnson, Norman W.; Geometries and Transformations, Cambridge University Press, 2018, p.224.0Vârf1Latură2Față3Celulă jj-față – element de ordinul j = −1, 0, 1, 2, 3, ..., n nPolitopul propriu-zis
Un politop n-dimensional este mărginit de un număr de fațete (n−1)-dimensionale. Aceste fațete sunt ele însele politopuri, care sunt mărginite de muchii (n−2)-dimensionale ale politopului original. Fiecare muchie apare la intersecția a două fațete (dar intersecția a două fațete nu este în mod necesar o muchie). Muchiile, și ele, sunt politopuri ale căror fațete sunt frontiere (n−3)-dimensionale ale politopului original ș.a.m.d. Aceste politopuri de frontieră pot fi numite fațete, sau, mai specific, j-fețe. O față 0-dimensională este numită vârf și este formată dintr-un singur punct. O față 1-dimensională este numită „latură” și este formată dintr-un segment. O față 2-dimensională este formată dintr-un poligon și o față 3-dimensională, uneori numită celulă, este formată dintr-un poliedru.
Clase importante de politopuri Politopuri convexe
Un politop poate fi convex. Politopurile convexe sunt cele mai simple tipuri de politopuri și formează baza câtorva generalizări ale conceptului de politop. Un politop convex este uneori definit ca intersecția unei mulțimi de semispații. Această definiție permite unui politop să nu fie mărginit sau finit. Politopurile sunt definite în acest mod de exemplu în programarea liniară. Un politop este mărginit dacă există o sferă cu rază finită care îl înconjură (conține). Se spune despre un politop că este ascuțit dacă are cel puțin un vârf. Orice politop mărginit și care nu este gol este ascuțit. Un exemplu de politop neascuțit este mulțimea . Un politop este finit dacă este definit printr-un număr finit de obiecte, de exemplu drept intersecția unui număr finit de semispații. Se spune despre un politop că este dacă toate coordonate vârfurilor sale sunt numere întregi (în ).
O clasă de politopuri convexe sunt politopurile reflexive. Un -politop întreg este reflexiv dacă pentru unele , , unde este un vector al tuturor, iar inegalitatea este adevărată pentru toate componentele. Din această definiție reiese că este reflexivă dacă și numai dacă oentru toate . În alte cuvinte, o -dilatare a diferă, în termenii punctelor laticii de întregi, de -dilatarea numai prin puncte de rețea în plus de pe frontieră. Echivalent, este reflexivă dacă și numai dacă politopul său dual este un politop întreg. Beck, Matthias; Robins, Sinai (2007), Computing the Continuous Discretely: Integer-point enumeration in polyhedra, Undergraduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, , MR 2271992
Politopuri regulate
Politopurile regulate au cel mai mare număr de simetrii dintre toate politopurile. Grupul de simetrii ale unui politop regulat este tranzitiv pentru grafurile sale, ca urmare politopul dual al unui politop regulat este și el regulat.
Există trei clase principale de politopuri regulate care există în orice număr de dimensiuni: Simplexuri, incluzând triunghiul echilateral și and the tetraedrul regulat. Hipercuburi, incluzând pătratul și cubul. Ortoplecși, incluzând pătratul și octaedrul regulat.
Cele două, trei și patru dimensiuni includ figuri regulate 5-simetrice, inclusiv unele stelate, care nu sunt convexe, iar în două dimensiuni există o infinitate de poligoane regulate n-simetrice, și, pentru cele cu mai mult de patru laturi, stelate. Dar pentru mai multe dimensiuni nu există alte politopuri regulate.
În trei dimensiuni există cinci poliedre regulate convexe, inclusiv dodecaedrul și icosaedrul și patru stelate (poliedrele Kepler-Poinsot) 5-simetrice, în total nouă poliedre regulate.
În patru dimensiuni 4-politopurile regulate includ un corp adițional convex 4-simetric și două 5-simetrice. Există zece 4-politopuri Schläfli-Hess stelate, toate 5-simetrice, dând un total de șaisprezece 4-politopuri regulate.
Politopuri stelate
Un politop care nu este convex se poate autointersecta; această clasă de politopuri include politopurile stelate. Unele politopuri regulate sunt stele.
Proprietăți Caracteristica Euler Deoarece un politop convex închis (plin) P în dimensiuni este până într-un punct, caracteristica Euler a frontierelor sale ∂P este dată de suma: , unde este numărul fețelor -dimensionale.
Asta este generalizarea formulei Euler pentru poliedre. M.A. Perles and G.C. Shephard. 1967. "Angle sums of convex politopuri". Math. Scandinavica, Vol 21, No 2. March 1967. pp. 199–218.
Unghiurile interne Similar, teorema Gram–Euler generalizează suma unghiurilor interioare a poliedrelor convexe la politopuri cu mai multe dimensiuni:
Generalizări ale politopurilor Politopuri infinite
Nu toate formele sunt finite. Când un politop este văzut ca o teselare sau descompunere a unei forme, ideea poate fi extinsă la forme infinite. Teselări, umpleri ale spațiului cu faguri și sunt, în acest sens, politopuri, numite de obicei apeirotopuri (de la apeiron) deoarece au un număr infinit de celule.
Între acestea există forme regulate, ca și serii de teselări infinite reprezentate de apeirogoane, teselări pătrate, faguri cubici etc.
Politopuri abstracte
Teoria politopurilor abstracte încearcă să detașeze noțiunea de politop de cea de spațiu, ocupându-se pur de proprietățile lor combinatorice. Asta permite ca definiția termenului de „politop” să fie extinsă pentru a cuprinde obiecte, ca de exemplu 11-celule, pentru care este dificil de a defini un spațiu intuitiv care să le cuprindă.
Un politop abstract este o de elemente sau membri, care respectă nuște reguli. Este o structură pur algebrică, iar teoria a fost dezvoltată pentru a evita o serie de aspecte greu de împăcat cu diverse noțiuni geometrice într-un cadru matematic consistent. Un politop geometric este considerat o materializare în spațiul real al politopului abstract asociat.
Politopuri complexe
Structuri analoage politopurilor există în spațiul Hilbert complex , unde n dimensiuni reale sunt însoțite de n dimensiuni imaginare. Politopurile regulate complexe sunt tratate mai adecvat drept .Coxeter, H.S.M.; Regular Complex Polytopes, 1974
Dualitate Fiecare n-politop are o structură duală, obținută prin interschimbarea vârfurilor sale cu fațetele, a laturilor sale cu muchiile și așa mai departe schimbând în general elementele sale (j − 1)-dimensionale cu elementele (n−j)-dimensionale (pentru j = 1,…,n−1), conservând în același timp conectivitatea sau incidența dintre elemente.