thumb|300px|Cele patru simplexuri care pot fi reprezentate efectiv în spațiul tridimensional În geometrie un simplex (plural: simplexuri) este o generalizare a noțiunii de triunghi sau tetraedru la un număr de dimensiuni arbitrare. Denumirea de simplexuri vine de la faptul că sunt reprezentările celor mai simple politopuri care sunt posibile într-un spațiu dat.
De exemplu, un 0-simplex este un punct, un 1-simplex este un segment, un 2-simplex este un triunghi, un 3-simplex este un tetraedru, un 4-simplex este un 5-celule.
Mai exact, un k-simplex este un politop k-dimensional care este anvelopa convexă a celor k + 1 vârfuri. Formalizat, admițând că cele k + 1 puncte sunt independente într-un spațiu afin, ceea ce înseamnă că sunt , simplexul este mulțimea acestor puncte:
Un simplex regulat este un simplex care este un Politop regulat. Un n-simplex regulat poate fi construit dintr-un (n − 1)-simplex regulat prin conectarea unui nou vârf la toate vârfurile existente prin segmente de lungime egală cu a celor existente.
Simplexul standard este simplexul format din cei k + 1 versori standard, adică
În topologie și combinatorică, este uzual să fie „lipite împreună” simplexuri pentru a forma un Complex simplicial.Răileanu, Dicționar…, p. 61 Structura combinatorică asociată este un , unde cuvântul „simplex” înseamnă, simplu, orice mulțime finită de vârfuri.
Istoric Noțiunea de simplex i-a fost cunoscută lui William Kingdon Clifford, care a scris despe ele în 1886, dar le-a numit „prime confines” (). Henri Poincaré, scriind în 1900 despre topologia algebrică, le-a numit „tetraedre generalizate”. În1902 Pieter Hendrik Schoute a descris noțiunea inițial cu superlativul latin „simplicissimum” (), apoi cu adjectivul latin în forma pozitivă, „simplex” ().
Familia de simplexuri regulate este prima din cele trei familii de politopuri regulate, notate de H.S.M. Coxeter cu αn, celelalte două fiind hiperoctaedrele, notate de el cu βn, și hipercuburile, notate de el cu γn. A patra familie, fagurii hipercubici a fost notată de el cu δn.
Elemente Anvelopa convexă a oricărei submulțimi nevide din cele n + 1 puncte care definesc un n-simplex este numită față a simplexului. Fețele sunt ele însele simplexuri. În particular, anvelopa convexă a submulțimii din dimensiunea m + 1 (unde dimensiunea n + 1 definește punctele) este un m-simplex, numit m-față a n-simplexului. 0-fețele (ex. însăși punctele, ca mulțime în dimensiunea 1) sunt numite vârfuri, 1-fețele sunt numite laturi, (n − 1)-fețele sunt numite fațete, iar singura n-față este însuși n-simplexul. În general, numărul m-fețelor este egal cu coeficientul binomial . Corespunzător, numărul m-fețelor unui n-simplex poate fi găsit în coloana (m + 1) a rândului (n + 1) din triunghiul lui Pascal. Simplexul A este o cofață a simplexului B dacă B este o față a lui A. Față și fațetă pot avea sensuri diferite la descrierea tipurilor de simplexuri într-un complex simpicial.
Numărul 1-fețelor (laturi) ale unui n-simplex este al n-lea număr triunghiular, numărul 2-fețelor ale unui n-simplex este al (n − 1)-lea număr tetraedric, numărul 3- fețelor ale unui n-simplex este al (n − 2)-lea număr 5-politopic ș.a.m.d. + Elementele n-simplexurilor Δn NumeSimbolSchläfliCoxeter 0-fețe(vârfuri) 1-fețe(laturi) 2-fețe 3-fețe 4-fețe 5-fețe 6-fețe 7-fețe 8-fețe 9-fețe 10-fețe Suma= 2n+1 − 1 Δ0 0-simplex(punct) ( ) 1 1 Δ1 1-simplex(segment){ } = ( ) ∨ ( ) = 2 · ( ) 2 1 3 Δ2 2-simplex(triunghi){3} = 3 · ( ) 3 3 1 7 Δ3 3-simplex(tetraedru){3,3} = 4 · ( ) 4 6 4 1 15 Δ4 4-simplex(5-celule){33} = 5 · ( ) 5 10 10 5 1 31 Δ5 5-simplex{34} = 6 · ( ) 6 15 20 15 6 1 63 Δ6 6-simplex{35} = 7 · ( ) 7 21 35 35 21 7 1 127 Δ7 7-simplex{36} = 8 · ( ) 8 28 56 70 56 28 8 1 255 Δ8 8-simplex{37} = 9 · ( ) 9 36 84 126 126 84 36 9 1 511 Δ9 9-simplex{38} = 10 · ( ) 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1023 Δ10 10-simplex{39} = 11 · ( ) 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 2047
Intuitiv, într-un limbaj profan, un n-simplex este o formă simplă (un poligon) care necesită n dimensiuni. Fie un segment AB o „formă” în spațiul 1-dimensional (dreapta care conține segmentul). Se poate adăuga un nou punct, C, undeva în afara dreptei. Noua formă, triunghiul ABC, necesită două dimensiuni; el nu încape în spațiul 1-dimensional inițial. Triunghiul este 2-simplexul, o formă simplă care necesită două dimensiuni. Fie triunghiul ABC o formă în spațiul 2-dimensional (planul care conține triunghiul). Se poate adăuga un nou punct, D, undeva în afara planului. Noua formă, tetraedrul ABCD, necesită trei dimensiuni; el nu încape în spațiul 2-dimensional. Tetraedrul este 3-simplexul, o formă simplă care necesită trei dimensiuni. Fie tetraedrul ABCD, o formă în spațiul 3-dimensional (3-spațiul care conține tetraedrul). Se poate adăuga un nou punct, E, undeva în afara 3-spațiului. Noua formă, ABCDE, numită 5-celule, necesită patru dimensiuni și este numit 4-simplex; el nu încape în spațiul 3-dimensional. (Nici nu poate fi vizualizat ușor.) Această idee poate fi generalizată: adăugarea unui nou punct în afara spațiului curent, necesită o dimensiune superioară, care să conțină noua formă.
Formal, un (n + 1)-simplex poate fi construit reunind (operatorul ∨ ) un n-simplex cu un punct, ( ). Un (m + n + 1)-simplex poate fi construit reunind un m-simplex cu un n-simplex. Cele două simplexuri trebuie orientate astfel încât să fie complet normale unul față de altul, prin translații în direcții ortogonale față de ambele. Un 1-simplex este reuniunea a două puncte: ( ) ∨ ( ) = 2 · ( ). Un 2-simplex oarecare (triunghi scalen) este reuniunea a trei puncte: ( ) ∨ ( ) ∨ ( ). Un triunghi isoscel este reuniunea a 1-simplex cu un punct: { } ∨ ( ). Un triunghi echilateral este 3 · ( ) sau {3}. Un 3-simplex oarecare este reuniunea a 4 puncte: ( ) ∨ ( ) ∨ ( ) ∨ ( ). Un 3-simplex cu simetrie în oglindă poate fi exprimat printr-o reuniune dintre o latură și două puncte: { } ∨ ( ) ∨ ( ). Un 3-simplex cu simetrie triunghiulară poate fi exprimat printr-o reuniune a unui triunghi echilateral cu un punct: 3.( )∨( ) or {3}∨( ). Un tetraedru regulat este 4 · ( ) sau {3,3} ș.a.m.d. thumb|300px|Numărul fețelor din tabelul de mai sus este cel din triunghiul lui Pascal, fără diagonala din stângathumb|300px|Numărul total de fețe este întotdeauna o putere a lui doi minus unu. Această figură (o proiecție al unui 4-cub) arată centroizii celor 15 fețe ale tetraedrelor.
În unele convenții, Kozlov, Dimitry, Combinatorial Algebraic Topology, 2008, Springer-Verlag (Series: Algorithms and Computation in Mathematics) mulțimea vidă este definită drept un (−1)-simplex. Definiția are sens pentru n = −1 în construcția de mai sus. Această convenție este mai întâlnită în aplicațiile topologiei algebrice decât în studiul politopurilor.
Grafuri simetrice ale simplexurilor regulate Aceste poligoane Petrie (proiecții ortogonele deformate) arată vârfurile unui simplex regulat pe un cerc, și conexiunile perechilor de vârfuri prin laturi. 150px1150px2150px3150px4150px5150px6150px7150px8150px9150px10150px11150px12150px13150px14150px15150px16150px17150px18150px19150px20
Simplexul unitate thumb|2-simplexul unitate în R3 n-simplexul unitate (sau n-simplexul standard) este submulțimea din Rn+1 dată de
Simplexul Δn se află în hiperplanul afin obținut eliminând restricția ti ≥ 0 din definiția de mai sus.
Cele n + 1 vârfuri ale n-simplexului unitate sunt punctele ei ∈ Rn+1, unde e0 = (1, 0, 0, ..., 0), e1 = (0, 1, 0, ..., 0),
en = (0, 0, 0, ..., 1). Aceasta este pentru aplicarea pe un n-simplex oarecare cu vârfurile (v0, ..., vn) date de
Coeficienții ti se numesc ale unui punct al n-simplexului. Un asemenea simplex este adesea numit n-simplex afin, pentru a sublinia că aplicația canonică este o . Uneori este numit și n-simplex afin orientat, pentru a sublinia că aplicația canonică poate fi una sau inversată.
Mai general, aceasta este aplicația canonică pentru n–1-simplexul unitate (cu n vârfuri) pentru orice politop cu n vârfuri, dată de aceeași ecuație (modificând indecșii):
Acestea sunt cunoscute drept coordonate baricentrice generalizate, și exprimă fiecare politop ca „imaginea” unui simplex:
O funcție obișnuită în Rn în interiorul n–1-simplexului unitate este , sau funcția exponențială normalizată; aceasta este o generalizare a standard.
Exemple Δ0 este punctul 1 în R1. Δ1 este segmentul care unește punctele (1, 0) și (0, 1) în R2. Δ2 este triunghiul echilateral cu vârfurile (1, 0, 0), (0, 1, 0) și (0, 0, 1) în R3. Δ3 este tetraedrul regulat cu vârfurile (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) și (0, 0, 0, 1) în R4.
Coordonate crescătoare Un sistem de coordonate alternativ se poate obține prin sumele:
Asta duce la o prezentare prin ordine, respectiv ca n-tupluri nedescrescătoare între 0 și 1:
Geometric, acesta este o submulțime n-dimensională a (dimensiune maximă, codimensiune 0) mai degrabă ca una a (codimensiune 1). Fațetele, care la simplexul unitate corespund unei coordonate nule, aici ele corespund la coordonate successive, ca fiind egale cu coordonatele, în timp ce interiorul său corespunde strict unei inegalități.
O deosebire esențială între aceste prezentări este comportarea în cazul permutării coordonatelor – simplexul unitate este stabil la permutarea coordonatelor, în timp ce un "simplex ordonat" nu este invariant la permutarea elementelor, permutarea unei secvențe ordonate duce de obicei la una dezordonată. Simplexul ordonat este un Domeniu fundamental (închis) la asupra al n-cubului, ceea ce înseamnă că parcursul simplexului ordonat pentru cele n! elemente ale grupului simetric împarte n-cubul în n! simplexuri aproape disjuncte (disjuncte, cu excepția frontierelor), arătând că volumul unui singur simplex este . Alternativ, volumul poate fi calculat prin integrare repetată, în care mărimile de integrat sunt
O altă proprietate a acestei abordări este că folosește ordinea, dar nu adunarea, și prin asta poate fi definită în orice dimensiune, peste orice set ordonat, de exemplu poate fi utilizată pentru a defini un simplex cu dimensiuni infinite fără probleme de convergență a sumelor.
Proiecția simplexului standard În special în aplicațiile numerice ale teoriei probabilităților interesează a simplexului standard. Fiid date probabilitățile cu posibile valori negative, cel mai apropiat punct din simplex are coordonatele
unde se alege astfel încât
poate fi calculat ușor pentru sortate. Sortarea necesită volum de calcul proporțional cu , care pot fi redus la unul proporțional cu folosind . Proiecția pe simplex este similară din punct de vedere al calculului cu proiecția pe o bilă.
Colțul cubului În final, o metodă simplă este de a înlocui "sumarea la 1" cu "sumarea la cel mult 1"; asta crește numărul de dimensiuni cu 1, astfel, pentru a simplifica formulele, indecșii se schimbă:
Asta produce un n-simplex de forma colțului unui n-cub, și este simplexul ortogonal standard. Acesta este simplexul folosit în algoritmul simplex, care este plasat în origine și local modelează un vârf cu n fațete al unui politop.
Coordonatele carteziene pentru un n-dimensional simplex regulat în Rn