thumb|Anvelopa convexă a mulțimii roșii este mulțimea convexă albastră și roșie. În geometrie anvelopa convexă sau închiderea convexă a unei forme este cea mai mică mulțime convexă care o cuprinde. Anvelopa convexă poate fi definită fie ca intersecția tuturor mulțimilor convexe care conțin o submulțime dată a spațiului euclidian, fie ca mulțimea tuturor ale punctelor din submulțimea dată. Pentru o porțiune dintr-un plan, anvelopa convexă poate fi vizualizată printr-un fir de cauciuc întins în jurul porțiunii.
Anvelopa convexă a unei mulțimi deschise este una deschisă, iar anvelopa convexă a unei mulțimi compacte este una compactă. Orice mulțime convexă compactă este anvelopa convexă a . Operatorul „anvelopă convexă” este un exemplu de , iar orice poate fi reprezentat prin aplicarea acestui operator de închidere la o mulțime finită de puncte. Problema algoritmilor de trasare a anvelopei convexe a unei mulțimi finite de puncte din plan sau alte spații euclidiene cu dimensiuni inferioare, precum și problema duală a intersectării semispațiilor, sunt probleme fundamentale ale . Pentru mulțimi situate în plan sau în spațiul tridimensional, acestea pot fi rezolvate cu resurse de calcul de complexitatea , iar pentru dimensiuni superioare, în cel mai rău caz cu resurse de calcul de complexitatea dată de .
La fel ca pentru mulțimi de puncte, anvelopa convexă a fost studiată pentru poligoane simple, mișcare browniană, curbe în spațiu și . Anvelopa convexă are aplicații în matematică, statistică, optimizare combinatorie, economie, modelare geometrică și etologie. Structurile conexe includ , , triangularea Delaunay și .
Definiții thumb|Anvelopa convexă a unei mulțimi mărginite din plan: analogia firului de cauciuc O mulțime de puncte din spațiul euclidian este definită drept convexă dacă aceasta conține toate segmentele care unesc oricare pereche de puncte ale sale. Anvelopa convexă a unei mulțimi date poate fi definită prin: Mulțimea convexă minima (unică) conținând Intersecția tuturor mulțimilor convexe conținând Mulțimea tuturor combinațiilor convexe de puncte din Reuniunea tuturor simplexurilor cu vârfuri în Pentru o mulțime cu frontieră din planul euclidian, cu elemente necoliniare, frontiera anvelopei convexe este linia închisă cu perimetrul minim conținând pe . Se poate imagina întinderea unui fir de cauciuc în jurul întregii mulțimi , iar apoi, eliberându-l, el se strânge; când se oprește, el închide anvelopa convexă a . Această formulare nu se poate generaliza imediat pentru dimensiuni superioare: pentru o mulțime finită de puncte din spațiul tridimensional, o vecinătate a al punctelor le include cu o suprafață arbitrar de mică, mai mică decât suprafața anvelopei convexe.. Vezi și Douglas Zare, answer to "the perimeter of a non-convex set", MathOverflow, May 16, 2014. Cu toate acestea, în dimensiuni superioare, variante ale de a găsi o suprafață cu energie minimă pe deasupra unei forme date pot avea drept soluție anvelopa convexă.
Pentru obiectele tridimensionale, prima definiție afirmă că anvelopa convexă este cel mai mic posibil convex al obiectelor. Definiția pe baza intersecției mulțimilor convexe poate fi extinsă la geometriile neeuclidiene, iar definiția pe baza combinațiilor convexe poate fi extinsă la un spațiu vectorial real sau la un spațiu afin oarecare; anvelopa convexă poate fi generalizată abstract în cadrul .
Echivalența definițiilor thumb|Anvelopa convexă tridimensională a unei mulțimi grupate de 120 de puncte Nu este evident că prima definiție are sens: de ce trebuie ca mulțimea convexă care cuprinde să fie minimă și de ce este ea unică? Definiția a doua, intersecția tuturor mulțimilor convexe care conțin , este bine definită. Ea este o submulțime a oricărei alte mulțimi convexe care conțin , deoarece este inclusă în mulțimile care se intersectează. Ca urmare, ea este exact unica mulțime convexă minimă care conține . Prin urmare, primele două definiții sunt echivalente.
Fiecare mulțime convexă care conține trebuie (presupunând că este convexă) să conțină toate combinațiile convexe de puncte din , astfel toate combinațiile convexe sunt conținute în intersecția tuturor mulțimilor convexe care conțin . Invers, mulțimea tuturor combinațiilor convexe este ea însăși o mulțime convexă care conține , deci conține și intersecția tuturor mulțimilor convexe care conțin , prin urmare a doua și a treia definiție sunt echivalente., p. 12; , p. 17.
În fapt, conform , dacă este o submulțime a spațiului euclidian -dimensional, orice combinație convexă a unui număr finit de puncte din este și o combinație convexă în a punctelor din . Mulțimea combinațiilor convexe ale unui - de puncte este un simplex; în plan el este un triunghi, iar în spațiul tridimensional este un tetraedru. Prin urmare, orice combinație convexă de puncte din aparține unui simplex, ale cărui vârfuri aparțin lui , iar a treia și a patra definiție sunt echivalente.
Anvelopele de sus și de jos Pentru calcule, uneori anvelopa convexă este împărțită în două părți. În două dimensiuni, anvelopa convexă este uneori împărțită în două părți, în anvelopa „de sus” și cea „de jos” („sus” și „jos” în sensul foii de hârtie pe care este desenată), întinzându-se între punctele cel mai „din stânga” și cel mai „din dreapta” (tot în sensul foii de hârtie) ale figurii. Mai general, pentru corpurile convexe în orice dimensiune se poate împărți corpul în zone orientate „în sus”, respectiv „în jos” (în sensul cum este privit un corp în mod obișnuit), figura de separație fiind definită de punctele care apar ca extreme în proiecția ortogonală în direcția verticală. Pentru corpurile tridimensionale, părțile orientate în sus și în jos ale frontierei formează discuri topologice., p. 6 Ideea de partiționare a corpului în două zone provine dintr-o variantă eficientă a algoritmului Graham.
Proprietăți topologice Anvelope închise și deschise Anvelopa convexă închisă este anvelopei convexe, iar anvelopa convexă deschisă este interiorul anvelopei convexe.
Anvelopa convexă închisă a este intersecția tuturor semispațiilor care conțin . Dacă anvelopa convexă a este deja ea însăși o mulțime închisă (asta se întâmplă, de exemplu, dacă este o mulțime finită sau, mai general, o mulțime compactă), atunci ea este anvelopa convexă închisă. Totuși, o intersecție de spații închise este în sine închisă, așa că atunci când o anvelopă convexă nu este închisă nu poate fi reprezentată în acest fel.
Dacă anvelopa convexă deschisă a mulțimii este -dimensională, atunci orice punct al anvelopei aparține unei anvelope convexe deschise a cel mult puncte ale . Mulțimile vârfurilor unui pătrat, al unui octaedru regulat sau al unui ortoplex sunt exemple în care sunt necesare exact puncte.; ;
Conservarea proprietăților topologice thumb|Vrăjitoarea lui Agnesi. Punctele de pe, sau de deasupra curbei roșii sunt un exemplu de mulțime închisă, la care anvelopa convexă este deschisă (vezi semiplanul de deasupra curbei). Topologic, anvelopa convexă a unei mulțimi deschise este ea însăși una deschisă, iar anvelopa convexă a unei mulțimi compacte ea însăși compactă. Totuși, există mulțimi închise ale căror anvelope convexe nu sunt închise., p. 16; , p. 21; . De exemplu, mulțimea închisă
(mulțimea punctelor aflate deasupra curbei are semiplanul de deasupra curbei drept anvelopă convexă, deschisă.Exemplul provine din , Remark 2.6.
Compactitatea anvelopelor convexe ale mulțimilor compacte din spațiile euclidiene, finite dimensional, este generalizată de , conform căreia anvelopa convexă închisă a unei submulțimi slab compacte dintr-un spațiu Banach (o submulțime compactă în sensul ) este slab compactă.
Puncte extreme Un punct extrem al unei mulțimi convexe este un punct din mulțime care nu se află pe niciun segment de linie deschisă între oricare alte două puncte ale aceleiași mulțimi. Pentru o anvelopă convexă fiecare punct extrem trebuie să facă parte din mulțimea dată, pentru că altfel nu poate fi format ca o combinație convexă din punctele date. Conform , orice mulțime convexă compactă dintr-un spațiu euclidian (sau mai general într-un ) este anvelopa convexă a punctelor sale extreme. Totuși, acest lucru poate să nu fie adevărat pentru mulțimile convexe care nu sunt compacte; de exemplu, întregul plan euclidian și bila unitate deschisă sunt ambele convexe, dar niciunul dintre ele nu are puncte extreme. extinde această teorie de la combinații de puncte extreme convexe finite, la combinații infinite (integrale) în spații mai generale.
Proprietăți geometrice și algebrice Operator de închidere Operatorul anvelopă convexă are proprietăți caracteristice unui operator de închidere: Este extensiv, în sensul că anvelopa convexă a oricărei mulțimi este o mulțime care include mulțimea (este o supramulțime a mulțimii ). Este nedecrescător, în sensul că pentru oricare două mulțimi și cu anvelopa convexă a este o submulțime a anvelopei convexe a . Este , în sensul că pentru oricare mulțime anvelopa convexă a anvelopei convexe a este identică cu anvelopa convexă a . Atunci când este aplicat unei mulțimi finite de puncte, acesta este operatorul de închidere al unui , antimatroidul interiorului mulțimii de puncte. Astfel fiecare antimatroid poate fi reprezentat prin corpuri convexe de puncte într-un spațiu euclidian de dimensiuni suficient de mari.
Suma Minkowski Operațiile de construire a anvelopei convexe și a sunt echivalente, în sensul că suma Minkowski a anvelopelor convexe ale mulțimilor dă același rezultat ca și anvelopa convexă a sumei Minkowski a acelorași mulțimi. Aceasta duce la , care limitează distanța unei sume Minkowski de anvelopa sa convexă., Theorem 3, pages 562–563; , Theorem 1.1.2 (pages 2–3) and Chapter 3.
Dualitate proiectivă Operația de construire a anvelopei convexe a unui set de puncte este una . Adică la construirea intersecției închise a unei familii de semispații, din fiecare pereche duală de semispații care formează spațiul se ia semispațiul care conține originea (sau un alt punct desemnat), nu semispațiul său complementar.
Cazuri speciale Mulțimi finite de puncte thumb|Anvelopa convexă a unor puncte din plan
Anvelopa convexă a unei mulțimi finite de puncte formează în plan un poligon convex, sau, mai general, un politop convex în . Fiecare punct extrem al anvelopei este numit vârf, iar (conform ) orice politop convex este anvelopa convexă a vârfurilor sale. El este unicul politop convex ale cărui vârfuri aparțin la și include toată . Pentru mulțimi de puncte aflate în poziții oarecare, anvelopa convexă este un simplex.
Conform teoremei limitei superioare, numărul de fețe al anvelopei convexe a puncte în spațiul euclidian -dimensional este . În particular, în două sau trei dimensiuni numărul fețelor este cel mult liniar în .
Poligoane simple
thumb|Anvelopa convexă a unui poligon simplu Anvelopa convexă a unui poligon simplu include poligonul dat și este împărțită în regiuni, una din ele fiind poligonul însuși (albastru în figura alăturată). Alte regiuni, delimitate de lanțul poligonal (frontiera) poligonului și de anvelopa convexă, se numesc buzunare. Calculând aceeași descompunere recursiv pentru fiecare buzunar se formează o descriere ierarhică a poligonului dat, numită arborele diferențelor convexe. Reflectarea unui buzunar peste marginea acestuia de pe anvelopa convexă extinde poligonul simplu dat într-un poligon cu același perimetru și suprafață mai mare, iar afirmă că acest proces de expansiune se termină în cele din urmă.
Mișcarea browniană Curba generată de mișcarea browniană în plan, în orice moment fix, are probabilitatea 1 de a avea o anvelopă convexă a cărei limită formează o curbă continuă diferențiabilă. Totuși, pentru orice unghi din intervalul vor exista momente în timpul mișcării browniene în care particula în mișcare atinge limita corpului convex în vârful unui unghi. Dimensiunea Hausdorff a acestei mulțimi de excepții este (cu probabilitate mare) .
Curbe în spațiu